Serie di Fourier contro trasformata di Fourier

[Daentalion]

Buon pomeriggio a tutti, vorrei porvi una domanda più qualitativa che quantitativa sulla differenza tra serie e trasformata di Fourier.

Quello che ho studiato a riguardo (omettendo i dettagli) è quanto segue: una funziona periodica, considerata in un certo intervallo, può espandersi in serie di Fourier come somma di seni e coseni moltiplicati per i termini di due successioni calcolate tramite le ben note formule.
Poichè la serie di Fourier è definita soltanto per funzioni periodiche, viene spontaneo chiedersi se si possa ottenere un risultato simile anche per funzioni non periodiche; allora, considerando una funzione non periodica come una funzione periodica di periodo infinito, si passa da una variabile discreta ad una continua, ottenendo così la trasformata (integrale) di Fourier, che è l'analogo della trasformata di Fourier ma per funzioni in generale non periodiche.

Se quanto ho detto è giusto, allora perchè è utile conoscere la trasformata di Fourier anche di funzioni periodiche come ad esempio i treni di rect, triangle ecc.? Per funzioni del genere non basta conoscere la loro espansione in serie di Fourier?

[dissonance]

Secondo me se una funzione è periodica allora la sua trasformata di Fourier si riduce a una serie di delta di Dirac avente come coefficienti i coefficienti della serie di Fourier. Quindi essenzialmente le due cose sono uguali.