Singolarità essenziale di $z^2 sin(1/z)$

[feddy]

Ciao a tutti,

studiando analisi complessa mi sono imbattuto nello studio delle singolarità e serie di Laurent. Non ho avuto grossi nella loro classificazione.

Come esempio un testo a cui faccio riferimento dice che la funzione $f(z)=z^2*sin(1/z)$ presenta una singolarità essenziale nell'origine.
E questo, guardando lo sviluppo di Laurent mi viene confermato: ho un'infinità numerabile di interi negativi $n$ tali che i coefficienti $c_n$ sono non nulli. (in tal modo ho potenze negative di $z-z_0$,ecc.).

Benissimo, il mio problema è che volevo verificare che il seguente limite $ lim_(z -> 0) |f(z)| $ non esiste.
Dal momento che $\mathbb{C}$ lo si identifica con $RR^2$, lo posso trattare come un limite in due variabili $x,y$. Il problema è che mi pare esista finito e valga $0$, dunque non riesco a capire l'errore nel mio ragionamento. Nel limite passo in coordinate polari $(\rho,theta) \in (0,+\infty)xx[0,2pi=)$.

$ lim_(z -> 0) |z^2*sin(1/z)|=lim_((rho,theta) -> (0,0)) |\rho^2e^{2itheta)*sin(1/(\rhoe^{i\theta)))| $

Ora posso maggiorare la funzione seno con $1$ perciò risulta $ lim_((rho,theta) -> (0,0)) |\rho^2e^{2itheta)|\leq |\rho^2|*|e^{i2theta}|$ e quindi $lim_((rho,theta) -> (0,0))|rho^2|*|cos(2theta)+isen(2theta)| $ = $ lim_((rho,theta) -> (0,0))|rho^2|*(2cos^2(2theta) - 1) \rarr 0 $ indipendentemente da $theta$. Pertanto, per il thm dei carabinieri, tale limite è nullo.

Dov'è che sbaglio?

[Studente Anonimo]

$|sinz|$ non è limitato:

$[sinz=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i)] rarr$

$rarr [sinz=1/2(e^y+e^(-y))sinx+1/2i(e^y-e^(-y))cosx] rarr$

$rarr [|sinz|=1/2sqrt((e^y+e^(-y))^2sin^2x+(e^y-e^(-y))^2cos^2x)] rarr$

$rarr [|sinz|=1/2sqrt(e^(2y)+e^(-2y)+2sin^2x-2cos^2x)] rarr$

$rarr [|sinz|=1/2sqrt(e^(2y)+e^(-2y)-2cos2x)]$

[feddy]

Grazie mille S.E per la risposta!
Caspita, che scemo che sono stato... per dimostare che non esiste però non saprei come procedere. Il passaggio in coordinate polari ora non ha senso: forse mi conviene provare a cercare due restrizioni lungo la quale il limite dia risultati diversi.

[Studente Anonimo]

Non credo valga la pena concentrarsi su un caso particolare. Piuttosto, puoi servirti del teorema di Picard, valido in generale e di cui dovresti riuscire a trovare una dimostrazione:

[feddy]

Tutto chiaro, grazie !