Funzione doppiamente periodica ed olomorfa
Sia $f:CC->CC$ una funzione olomorfa e doppiamente periodica (cioè $f(z)=f(z+w_1)=f(z+w_2) AA z in CC, w_1,w_2 in CC$ e linearmente indipendenti su $RR$).
Allora dimostrare che $f$ è costante.
Avete qualche suggerimento da darmi? Vorrei ricondurmi al teorema di Liouville, quindi devo mostrare che $|f(z)|$ è limitata. Ma non so come lavorare con le funzioni periodiche. A lezione non abbiamo mai definito funzioni con periodo complesso. Grazie mille.
Allora dimostrare che $f$ è costante.
Avete qualche suggerimento da darmi? Vorrei ricondurmi al teorema di Liouville, quindi devo mostrare che $|f(z)|$ è limitata. Ma non so come lavorare con le funzioni periodiche. A lezione non abbiamo mai definito funzioni con periodo complesso. Grazie mille.
Risposte
La funzione è nota dappertutto se è nota nel parallelogramma sottostante:
Visto che $|f(z)|$ è senz'altro limitato nel parallelogramma, ora si dovrebbe riuscire.
"melli13":
Vorrei ricondurmi al teorema di Liouville ...
Visto che $|f(z)|$ è senz'altro limitato nel parallelogramma, ora si dovrebbe riuscire.
@anonymous_0b37e9 Bella spiegazione! Da sola non sarei mai riuscita a capire "geometricamente" cosa volesse significare essere doppiamente periodica. Cosi posso applicare il mio caro teorema di Liouville. Grazie mille!!
@dissonance Mi vorresti dire che sono in una varietà? E quale sarebbe? Perchè in effetti a lezione la prof ci ha fatto vedere che una conseguenza del principio del massimo è proprio che su una varietà ogni funzione olomorfa è una costante. Ma non ho compreso appieno la definizione di varietà complessa.
@dissonance Mi vorresti dire che sono in una varietà? E quale sarebbe? Perchè in effetti a lezione la prof ci ha fatto vedere che una conseguenza del principio del massimo è proprio che su una varietà ogni funzione olomorfa è una costante. Ma non ho compreso appieno la definizione di varietà complessa.
La varietà sarebbe il toro, ovvero \(\mathbb R^2 / \mathbb Z^2\) (a meno di isomorfismo). Ottieni esattamente il toro quando \(w_1=(1,0), w_2=(0,1)\). Quanto alla definizione di varietà complessa, non la domino neanche io.
@dissonance Woooow giustamente ottieni il quadrato e incolli i lati opposti visto che le frecce sono proprio quelle del toro. Io non riesco a vedere da sola queste cose 
Bella dimostrazione alternativa....grazie infinite!!
Eheh se non la domini tu la varietà complessa, per me proprio non c'è speranza
Bella dimostrazione alternativa....grazie infinite!!
Eheh se non la domini tu la varietà complessa, per me proprio non c'è speranza
Ma no, è semplicemente che non ci ho mai riflettuto, perché non l'ho mai studiata. Con la matematica le cose sono due: o uno riflette sulle cose, e allora le impara e le controlla, oppure uno non riflette, e non impara e non controlla.
È letteralmente solo questione di esercizio.
È letteralmente solo questione di esercizio.
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