Risoluzione integrali con formule di Cauchy

[antemysya]

Salve, spero possiate aiutarmi a capire come risolvere questa tipologia di esercizi. Ho problemi a comprendere la questione dominio... Inizio col riportare un esempio di esercizio, così provo ad essere più mirata sul problema

Dato:
$ int_\gamma e^z/((z − 1)(z + 3)^2) dz $, dove $γ : |z + 1| = 3$
Siano $ D_1 = {z ∈ C : |z − 1| ≤ epsilon}; D_2 = {z ∈ C : |z + 3| ≤ epsilon}$,
$0 < epsilon < 1$ e $D_0 = {z ∈ C : |z + 1| ≤ 3}$.

STEP1: Applichiamo il primo teorema integrale di Cauchy alla funzione
$ f(z) = e^z/((z+3)^2(z−1)) $ nel dominio $D = \bar(D_0 − (D_1 ∪ D_2))$ ($#$) ($D$ non include i punti $−3$ e $1$):

$int_(+partialD) e^z/((z + 3)^2(z − 1)) = int_(+partialD_1) e^z/((z + 3)^2(z − 1)) + int_(+partialD_2) e^z/((z + 3)^2(z − 1))$
dove l’orientamento positivo su$ ∂D_1$ e $∂D_2$ è quello antiorario.

STEP2: Successivamente applichiamo il secondo teorema integrale di Cauchy alla funzione $ f_1(z) = e^z/(z + 3)^2 $
nel dominio $D_1$ ($D_1$ non include il punto $−3$) e applichiamo la formula integrale di Cauchy per le derivate alla funzione
$f_2(z) = e^z/(z − 1)$ nel dominio $D_2$ ($D_2$ non include il punto $1$).
Il risultato finale sarà ottenuto dalla somma di questi due integrali appena ricavati.

Ora...
l'applicazione della formula mi è chiara, in realtà mi era chiara anche la parte teorica, ma vedendo gli esercizi forse mi sono sbagliata. Il problema principale sta sui domini forse, FORSE. Sicuro questa parte dei domini non mi è chiara.
Alcune delle cose che mi chiedo sono...
Innanzitutto la prima parte, perchè fa così? Perchè fa questi due step?
Perchè non posso prendere direttamente la $f(z)=e^z/((z − 1)$ e applicare la seconda formula di Cauchy a $f^(k)(xi)=((k!)/(2i pi))int_\gamma f(z)/(z-xi)^2$ con $xi = -3$. (Dove in tal caso dovrei considerare anche che deve essere $z!=1$)
Per caso perchè $-3$ non è incluso nel dominio?

Perchè qui ($#$) considera la chiusura? E in esercizi precedentemente fatti elimina la frontiera, come del resto anche nella seconda parte quando va a considerare $ f_1$ e $f_2 $ prendendo per $f_1$ il valore $ xi ∈ D_1 - partialD_1 $ e per $f_2$ il valore $xi ∈ D_2 - partialD_2$. Ma perchè?

Scusatemi se mi sono dilungata, spero davvero di capire qualcosina in più...

[antemysya]

Scusate ho sbagliato a scrivere... nell'ultima parte intendevo per quanto riguarda $f_1$ considero $xi in D_1 - partialD_1 $ e per quanto riguarda $f_2$ considero $xi in D_2 - partialD_2 $

[dissonance]

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[antemysya]

"dissonance":Modifica il messaggio precedente altrimenti non si capirà nulla

OK,fatto! Spero ora vada bene.

[Studente Anonimo]

Utilizzando l'immagine e le notazioni sottostanti:

$\gamma_0^+$: frontiera di $D_0$ percorsa in senso antiorario

$\gamma_1^+$: frontiera di $D_1$ percorsa in senso antiorario

$\gamma_2^+$: frontiera di $D_2$ percorsa in senso antiorario

$\gamma_1^-$: frontiera di $D_1$ percorsa in senso orario

$\gamma_2^-$: frontiera di $D_2$ percorsa in senso orario

valgono le seguenti implicazioni:

$[int_(\gamma_0^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz+int_(\gamma_1^-)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz+int_(\gamma_2^-)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz=0] rarr$

$rarr [int_(\gamma_0^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz=-int_(\gamma_1^-)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz-int_(\gamma_2^-)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz] rarr$

$rarr [int_(\gamma_0^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz=int_(\gamma_1^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz+int_(\gamma_2^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz]$

Inoltre:

$[f_1(z)=e^z/(z+3)^2] rarr [f_1(1)=1/(2\pii)int_(\gamma_1^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz]$

$[f_2(z)=e^z/(z-1)] rarr [(df_2)/(dz)(-3)=1/(2\pii)int_(\gamma_2^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz]$

Infine:

$[int_(\gamma_0^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz=2\pii f_1(1)+2\pii(df_2)/(dz)(-3)]$

Ad ogni modo, credo di aver capito il tuo dubbio. Nella formula integrale di Cauchy:

$[f(\xi)=1/(2\pii)int_(\gamma^+)f(z)/(z-\xi)dz]$

la funzione $f(z)$ deve essere olomorfa nel dominio la cui frontiera è $\gamma^+$. Insomma:

$[f_1(z)=e^z/(z+3)^2]$ è olomorfa nel dominio la cui frontiera è $\gamma_1^+$

$[f_2(z)=e^z/(z-1)]$ è olomorfa nel dominio la cui frontiera è $\gamma_2^+$

[antemysya]

"anonymous_0b37e9":Utilizzando l'immagine e le notazioni sottostanti:

$\gamma_0^+$: frontiera di $D_0$ percorsa in senso antiorario

$\gamma_1^+$: frontiera di $D_1$ percorsa in senso antiorario

$\gamma_2^+$: frontiera di $D_2$ percorsa in senso antiorario

$\gamma_1^-$: frontiera di $D_1$ percorsa in senso orario

$\gamma_2^-$: frontiera di $D_2$ percorsa in senso orario

valgono le seguenti implicazioni:

$[int_(\gamma_0^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz+int_(\gamma_1^-)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz+int_(\gamma_2^-)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz=0] rarr$

$rarr [int_(\gamma_0^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz=-int_(\gamma_1^-)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz-int_(\gamma_2^-)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz] rarr$

$rarr [int_(\gamma_0^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz=int_(\gamma_1^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz+int_(\gamma_2^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz]$

Inoltre:

$[f_1(z)=e^z/(z+3)^2] rarr [f_1(1)=1/(2\pii)int_(\gamma_1^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz]$

$[f_2(z)=e^z/(z-1)] rarr [(df_2)/(dz)(-3)=1/(2\pii)int_(\gamma_2^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz]$

Infine:

$[int_(\gamma_0^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz=2\pii f_1(1)+2\pii(df_2)/(dz)(-3)]$

Ad ogni modo, credo di aver capito il tuo dubbio. Nella formula integrale di Cauchy:

$[f(\xi)=1/(2\pii)int_(\gamma^+)f(z)/(z-\xi)dz]$

la funzione $f(z)$ deve essere olomorfa nel dominio la cui frontiera è $\gamma^+$. Insomma:

$[f_1(z)=e^z/(z+3)^2]$ è olomorfa nel dominio la cui frontiera è $\gamma_1^+$

$[f_2(z)=e^z/(z-1)]$ è olomorfa nel dominio la cui frontiera è $\gamma_2^+$

Innanzi tutto GRAZIE MILLE per la risposta!
"Ingenuamente", per non dire altro, non ho considerato che in $D$ la mia $f(xi)$ non è per niente olomorfa, condizione NECESSARIA per Cauchy. Però ora c'è un'altra cosa della quale vorrei esserne certa...come arrivo a ricavarmi i due domini $D_1$ $D_2$? Basta considerare gli intorni $B_(z_0)(epsilon)$ con $epsilon$ tale che sia sempre minore del raggio più piccolo? E' corretto sempre questo ragionamento?

[Studente Anonimo]

Poiché:

$[f_1(z)=e^z/(z+3)^2]$

è olomorfa nel dominio la cui frontiera è $\gamma_1^+$, vale:

$[f_1(1)=1/(2\pii)int_(\gamma_1^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz]$

a patto che $[z=-3]$ non sia interno al dominio medesimo. Allo stesso modo, poiché:

$[f_2(z)=e^z/(z-1)]$

è olomorfa nel dominio la cui frontiera è $\gamma_2^+$, vale:

$[(df_2)/(dz)(-3)=1/(2\pii)int_(\gamma_2^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz]$

a patto che $[z=1]$ non sia interno al dominio medesimo. Nel caso in esame, $\gamma_1^+$ e $\gamma_2^+$ sono anche contenute in $D_0$.

[antemysya]

"anonymous_0b37e9":Poiché:

$[f_1(z)=e^z/(z+3)^2]$

è olomorfa nel dominio la cui frontiera è $\gamma_1^+$, vale:

$[f_1(1)=1/(2\pii)int_(\gamma_1^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz]$

a patto che $[z=-3]$ non sia interno al dominio medesimo. Allo stesso modo, poiché:

$[f_2(z)=e^z/(z-1)]$

è olomorfa nel dominio la cui frontiera è $\gamma_2^+$, vale:

$[(df_2)/(dz)(-3)=1/(2\pii)int_(\gamma_2^+)e^z/((z - 1)(z + 3)^2)dz]$

a patto che $[z=1]$ non sia interno al dominio medesimo. Nel caso in esame, $\gamma_1^+$ e $\gamma_2^+$ sono anche contenute in $D_0$.

Grazie mille!