Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Salve a tutti. Mi trovo a dover affrontare questo problema di Cauchy. Ecco il testo.
${ ( y'=4y-y^2 ),( y(0)=y_0 ):}$
In particolare devo esplicitare le soluzioni per $y_0 in [0,4]$ .
Ecco la mia idea.
Tratto questa equazione come "a variabili separabili".
$a(t)=1$, mentre $b(y)=4y-y^2$ è una funzione continua, derivabile con derivata continua, ovvero Lipschitziana uniformemente a t.
Le soluzioni stazionarie sono, banalmente, $y=0 vv y=4$
Arrivando direttamente alla separazione ...
Salve,
avevo curiosità riguardo la relazione tra raggio di convergenza di una serie di potenze in campo complesso e la distanza dai poli della funzione rispetto al punto in cui è centrata. Da quel che ho capito dai teoremi è che si può sviluppare in campo complesso una serie di potenze anche in un intorno di un punto in cui non è olomorfa, con tutte le implicazioni che ne derivano ( derivabile in senso complesso), a differenza che nei reali. Adesso il raggio delle serie è definito sempre con ...
Salve, mi sono approcciato a questo problema passando attraverso lo studio della meccanica dei quanti (e le mie competenze pertanto vengono da un testo di fisica e non di matematica). Premetto che non sono molto forte in analisi e algebra lineare, quindi vi chiedo, per favore, di non usare un linguaggio troppo "specialistico" (nei limiti del possibile ovviamente!). Il mio problema è quello di capire perché uno spettro di un operatore hermitiano, se continuo, implica che le autofunzioni non ...
Salve a tutti,
circa questo esercizio:
Calcolare $ L[abs(sin(omegax))] $
Risolvendo mi viene:
$ omega/(omega^2+s^2)(-cos(omegax)*e^(-sx)-s/omega*sin(omegax)*e^(-sx)) $
Sperando sia giusto non riesco a capire su quale intervallo calcolare questo risultato.
Grazie.
Buongiorno, sto sbattendo la testa su questa benedetta Trasformata di Fourier.. Ho davanti questo esercizio:
$ f(x)=e^(-4x^2) $
E devo calcolare la trasformata di Fourier.
Da quanto ho capito per calcolare la trasformata di Fourier posso fare:
$ F[f(t),omega ]= int_(-infty)^(infty) e^(-iomegat)f(t) dt = int_(-infty)^(infty) e^(-iomegat)e^(-4t^2 dt $
E quindi calcolare $ F[f(t),omega ]= int_(-infty)^(infty) e^(-t(iomega+4t))dt $
( Oppure poiché in questo caso la mia funzione è pari posso calcolarla come $ F[f(t),omega ]= 2 int_(0)^(infty) e^(-4t^2)cos(omegat)dt $ )
C'è qualcuno che mi può guidare nella risoluzione? Perché veramente non so come fare
Grazie ...
Premetto che questo problema è antecedente alla def. di insieme misurabile secondo Lebesgue e pertanto dovrebbe essere risolto solo utilizzando le proprietà della misura esterna e un po' di topologia.
Al più potrebbe forse essere utile il fatto che la misura (esterna) di un aperto coincide con l'estremo superiore delle misure elementari dei plurintervalli in esso contenuto e/o che la misura (esterna) di un compatto coincide con l'estremo inferiore delle misure dei plurintervalli che lo ...
Ciao a tutti,
stavo studiando un pò di materiale sulla risoluzione delle PDE. Rimanendo nel campo delle funzioni a due variabili e limitando la trattazione alle equazioni del secondo ordine lineari o debolmente lineari, devo dire che c'è stata una carenza di informazioni quando è entrato in ballo l'operatore ellittico $ A(u(x,y)) = - sum_(i,j = 1)^(n) (partial)/(partial x_i) ((partial(u(x,y)))/(partial x_i)) +a_0(x) $ .
In particolare non ho ben capito cosa si possa dire sui problemi di Dirichlet, di Neumann e di tipo misto quando l'operatore ellittico soddisfa le condizioni ...
Sono confuso dalla definizione dello spazio di Sobolev frazionario. Il libro su cui sto studiando (Pseduo-differential Operators and the Nash-Moser Theorem di S. Alinhac e P. Gérard) si definisce per \(s \in \mathbb{R} \) lo spazio \[H^s = H^s (\mathbb{R}^n) = \left\{ u \in \mathcal{S}' \, : \, \int_{\mathbb{R}^n} (1 + |\xi|^2)^s |\hat{u}(\xi)|^2 \, d \xi < \infty \right\} \qquad (*)\] Indicano con \(\mathcal{S}'\) lo spazio delle distribuzioni temperate e con \(\hat{\cdot} \) la trasformata ...
Salve, vi scrivo sperando possiate aiutarmi nel seguente esercizio:
Determinare il residuo all'infinito di
$ e^(1/z) (z^3-z^2-z-1)/(z^2(z+1)) $
Dunque per il calcolo del residuo all'infinito effettuo la sostituzione $ z=1/w $
$ e^w (1/w^3-1/w^2-1/w-1)/(1/w^2(1/w+1)) $
A questo punto moltiplico la funzione ottenuta per $ 1/w^2 $ , ottenendo
$ e^w w (1-w-w^2-w^3)/(1+w^2) 1/w^2 $
A questo punto devo passare al limite per $ wrarr 0 $ oppure devo valutare la funzione in zero?
Ciao a tutti! avrei bisogno di chiarimenti sui lemmi di Green. Ahimè in analisi non li abbiamo affatto trattati e purtroppo devo dire che il materiale su internet scarseggia abbastanza. L'ho incontrato per la prima volta in Idraulica... gli integrali tripli (quindi di volume) diventano integrali doppi di superficie. Vorrei effettivamente approfondire la cosa perchè se dovessi usarlo e non imparare un procedimento in cui si usa, a memoria, non saprei proprio cosa fare. Mi basta una spiegazione ...
Salve vi scrivo per un aiuto riguardante il seguente esercizio:
Qual è la trasformata di Fourier della distribuzione temperata
$ x in mathbb(R) rarr sin ^3x $ ?
Premetto che mi sono appena approcciato all'argomento, vorrei approfittare di questo esercizio anche per chiarire in modo pratico l'applicazione della trasformata di Fourier alle distribuzioni. Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte.
Ciao a tutti!
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio, almeno per capire se lo sto impostando bene.
Devo calcolare la trasformata di Fourier delle funzioni da R in C
$ h(x) = 1/((x^2-a)^2+b^2) $
Con $a$ e $b$ reali strettamente positivi.
Ora, per trovare la trasformata davvero non ho idea di come calcolare l'integrale in R di $h(x)e^(-ikx)$.
Ho pensato di svolgerlo col teorema dei residui, applicando il lemma di jordan alla semicirconferenza con parte immaginaria ...
Ciao a tutti, ho bisogno del vostro aiuto.
Ho la funzione $f: RR \to CC$ tale che $x \to cos(\frac{2x\pi}{q})\int_(x-1/2)^(x+1/2) p(y,\sigma) \text{d}y$, dove $q$ è un intero positivo fissato, e $p(y,\sigma)$ è la funzione densità di probabilità gaussiana, di media 0 e deviazione $\sigma$.
Mi serve dimostrare che tale funzione è una funzione di Schwartz, ovvero una funzione a decrescenza rapida.
Non sono riuscito a dimostrarlo per la funzione presa così come è, e quindi ho pensato di dimostrarlo separatamente per le ...
Ciao ragazzi, vorrei aprire questo post perché non ho ancora capito bene la proprietà di dualità della trasformata di Fourier, c'è qualcosa che ancora non ho ben capito. Premetto che devo mettere in evidenza la frequenza f.
(1)Proprietà di dualità
$ X(t) -> x(-f) $
$ X(-t) -> x(f) $
Ho invertito i segni meno ("-"), partendo dalla prima formula. Sono giuste le formule?
(2)Posso affermare questo?
$ x(t) -> X(-f) $
$ x(-t) -> X(f) $
Ho invertito le lettere "x" maiuscole in minuscole e ...
Sia $u:\mathbb{R}\rightarrow(-\infty,+\infty]$ una funzione convessa e supponiamo che $u$ ammetta un punto di minimo.
Definisco la regolarizzata di $u$ nel modo seguente:
$$(\varphi_\epsilon*u)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_\epsilon(y)u(x-y)dy, $$
dove $\varphi_{\epsilon}$ è un mollificatore standard.
Introduciamo la notazione:
$$\tilde{u}_i=\varphi_{1/i}*u,\quad\forall i\in\mathbb{N}. $$
So che $\tilde{u}_i$ è convessa, che la ...
Salve a tutti,
sto studiando sul "Theory of linear operator in Hilbert Space" di Akhiezer e Glazman per il mio lavoro di ricerca. Ho un problema con il teorema:
se un funzionale convesso è semicontinuo inferiormente, allora il funzionale è limitato.
Infatti nella dimostrazione si dice (o mi pare di capire) che se per assurdo il funzionale p(h) non è limitato nella sfera unitaria, allora non è limitato in tutto lo spazio. Però uno non può estendere l'intorno e far in modo che il funzionale ...
Salve, vorrei chiedere un chiarimento su un passaggio riguardante la non unicità della soluzione di un problema di Dirichlet in un dominio non limitato. Scusate se non è la sezione corretta per questa domanda.
Il passaggio è il seguente:
L'intento è dimostrare la non unicità provando l'esistenza di due soluzioni differenti (\(\displaystyle log|x| \) o \(\displaystyle x^{(2-n)}-1 \), a seconda di n, e \(\displaystyle x_n \))? E' possibile nonostante siano definite su domini diversi ...
Salve, vi scrivo per dei chiarimenti riguardanti il seguente esercizio:
Sia g il prolungamento ad $ mathbb(R) $ per periodicità di:
$ x in ]-pi,pi]rarr { ( 0 rArr -pi<x<=0 ),(sin(2x)rArr 0<x<=pi):} $
In quanti punti di $ ]-pi,pi] $ la serie di Fourier di g' ha per somma 1?
Per risolvere l'esercizio calcolo innanzitutto g'
$ g'(x)= { ( 0 rArr -pi<x<=0 ),(2cos(2x)rArr 0<x<=pi):} $
A questo punto poichè la funzione è discontinua applico il teorema di convergenza puntuale:
$ 1/2[g'(x^+)+g'(x^-)]=sum_(n =-oo)^(+oo) c_n e^(i nx) $
Ora per rispondere al quesito richiesto valuto la funzione nei vari punti ...
Buonasera! Svolgendo alcuni esercizi di analisi complessa mi sono resa conto di non capire i passaggi in cui, per calcolare un integrale reale, si passa a studiare il corrispettivo con variabile complessa: immagino di avere qualche lacuna ma non riesco ad identificarla, anche perché conosco le identità in questione, e spero mi possiate aiutare.
Porto alcuni esempi:
1) Nello studio di
$ int_(-oo )^(oo )sin x/ (x(x^2+1)) dx $
dopo aver verificato la sommabilità, lo svolgimento fatto in classe fa considerare la ...
Ciao a tutti!
Vorrei chiedervi se è giusta la seguente risoluzione del Problema di Cauchy
$y''(t)+3y'(t)+2y(t) = f(t)$ ,ove $f(t) ={(t,if 0<=t<=1),(0,if 1<t):} }$ con condizioni iniziali $y(0)=0=y'(0)$.
Svolgimento:
denotata con $F(p)$ la trasformata di $y$ in $p$ e riscritta f come $f(t)=t+(1-t)H(t-1)$ con H la funzione di Heaviside, applico l'operatore di Trasformazione ad entrambi i membri dell'equazione ottenendo
$F(p) = (1-e^(-p))/(p^2(p+1)(p+2))$ con $Re(p)>0$ (ho usato le condizioni ...
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