Analisi superiore

Salve, vi scrivo per dei chiarimenti riguardanti il seguente esercizio: Sia g il prolungamento ad $ mathbb(R) $ per periodicità di: $ x in ]-pi,pi]rarr { ( 0 rArr -pi<x<=0 ),(sin(2x)rArr 0<x<=pi):} $ In quanti punti di $ ]-pi,pi] $ la serie di Fourier di g' ha per somma 1? Per risolvere l'esercizio calcolo innanzitutto g' $ g'(x)= { ( 0 rArr -pi<x<=0 ),(2cos(2x)rArr 0<x<=pi):} $ A questo punto poichè la funzione è discontinua applico il teorema di convergenza puntuale: $ 1/2[g'(x^+)+g'(x^-)]=sum_(n =-oo)^(+oo) c_n e^(i nx) $ Ora per rispondere al quesito richiesto valuto la funzione nei vari punti ...

Buonasera! Svolgendo alcuni esercizi di analisi complessa mi sono resa conto di non capire i passaggi in cui, per calcolare un integrale reale, si passa a studiare il corrispettivo con variabile complessa: immagino di avere qualche lacuna ma non riesco ad identificarla, anche perché conosco le identità in questione, e spero mi possiate aiutare. Porto alcuni esempi: 1) Nello studio di $ int_(-oo )^(oo )sin x/ (x(x^2+1)) dx $ dopo aver verificato la sommabilità, lo svolgimento fatto in classe fa considerare la ...

Ciao a tutti! Vorrei chiedervi se è giusta la seguente risoluzione del Problema di Cauchy $y''(t)+3y'(t)+2y(t) = f(t)$ ,ove $f(t) ={(t,if 0<=t<=1),(0,if 1<t):} }$ con condizioni iniziali $y(0)=0=y'(0)$. Svolgimento: denotata con $F(p)$ la trasformata di $y$ in $p$ e riscritta f come $f(t)=t+(1-t)H(t-1)$ con H la funzione di Heaviside, applico l'operatore di Trasformazione ad entrambi i membri dell'equazione ottenendo $F(p) = (1-e^(-p))/(p^2(p+1)(p+2))$ con $Re(p)>0$ (ho usato le condizioni ...

Dato uno spazio vettoriale $E$, consideriamo il suo spazio duale $E^{\star}$, cioè lo spazio dei funzionali lineari continui su $E$. Si definisce norma duale in $E^{\star}$ la seguente funzione: \[ ||f||_{E^{\star}}= \sup_{\substack{||x|| \leq 1 \\ x \in E}} |f(x)|= \sup_{\substack{||x|| \leq 1 \\ x \in E}} f(x) \] Mi viene un dubbio, probabilmente stupido: come facciamo ad essere certi che esista $ \text{sup } f(x)$? Per definizione di norma deve ...

Ciao a tutti, RIporto il testo dell'esercizio: Si considerino gli integrali $ I_R=int_vec(gamma_R) dz/(z^2 +z+1), J= int_(-infty)^(+infty) dx/(x^2+x+1) $ dove $ vec(gamma_R) $ è la frontiera orientata positivamente di $ {zin C:|z|<=R, Imz>=0} $. (a) provare che $ |1/(x^2+x+1)| <= 1/(R^2-R+1) $ se $ |z|=R $; (b) scrivere $ I_R $ con una parametrizzazione di $ vec(gamma_R) $ e usarlo per calcolare $ J $ considerando il limite per $ R->+infty $. L'unica cosa che mi viene in mente è pensare che $ J $ sia la parte reale ...

Salve a tutti, è corretto che i residui di questa funzione $f(z)= pi (cos(zpi)+1)/(z^2-1) in corrispondenza dei punti singolari facciano zero? Dai miei calcoli risultano poli del primo ordine. Ma non sono sicura che il risultato sia corretto. Inoltre, esiste un metodo per verificare la validità del risultato (una sorta di contro prova)?

Ciao ragazzi ho un integrale da svolgere che ha una delta fastidiosa: $\int_0^1\delta(1-sum_{i=1}^np_i)dp_1dp_2...dp_n$ Se n=2 lo possiamo ricondurre alla funzione beta $B(1,1)$. In uno spazio a dimensionalità maggiore come si risolve l'integrale? Esiste qualche "semplice" cambio di variabili che non riesco ad individuare per ricondurre l'integrale ad una funziona beta (o gamma?). Avevo pensato di porre intanto $t=sum_{i=1}^{n-1}p_i$ e $p_n=1-t$ ma non saprei come "chiudere" il diffeomorfismo. Oppure che ne ...

Salve, ho il seguente esercizio: Dimostrare che l’operatore U definito tramite la $(Uf)(x) = f(x − pi)$, per ogni $f(x)$ in $L2(R)$, ha norma pari ad $1$. Come procedo? Per avere la norma uguale a 1 U deve essere un operatore illimitato, giusto?

Ciao a tutti. Ho un problema con il seguente integrale $\int_{0}^{+\infty}{1}/{x^3+a^3}dx$ dove $a>0$ Vi riporto il procedimento che ho seguito. Prendo la funzione ausiliaria $f(z)={log(z)}/{x^3+a^3}$ Le singolarità (poli semplici) sono: $z_{0}=a(1/2+i{\sqrt{3}}/{2})$ $z_{1}=-a$ $z_{2}=a(1/2-i{\sqrt{3}}/{2})$ Mentre i residui sono $Res(f(z),z_{0})={ln(a)+i\pi/3}/{a^2(-3/2+i{\sqrt{3}}/{2})}$ $Res(f(z),z_{1})={ln(a)+i\pi}/{a^2}$ $Res(f(z),z_{2})={ln(a)+i{5\pi}/3}/{a^2(-3/2-i{\sqrt{3}}/{2})}$ La loro somma equivale a $\sum_{k=0}^{2}Res(f(z),z_{k})={2ln(a)}/{3a^2}-{2\pi}/{3\sqrt{3}a^2}+i{2\pi}/{3a^2}$ La discontinuità del ramo monodromo del logaritmo è $\Delta(log(x))=-2\pii$ Poi integro ...

non capisco un passaggio nel seguente esercizio spero possiate darmi una mano. ho la funzione $f(x)=e^(-|x|)$ in $[-1/2,1/2)$ ora il periodo è $tau =1$ e la serie di Fourier è in generale data da: $sum_(n in ZZ) c_n e^(i 2pi nx)$ ora procede a calcolare i coefficienti e per farlo risolve il seguente integrale: $int_(-1/2)^(1/2)f(x)e^(-2 pi i nx) dx$ la mia domanda ora è: da dove spunta fuori quel segno meno all'esponenziale? io sapevo che in un certo intervallo con periodo $tau$, i coefficienti si ...

ciao a tutti! ho il seguente integrale: $I = int_(0)^(oo) dx sqrtx / (x+i)^2$ ho pensato di risolverlo sfruttando il cammino $gamma$ detto "keyhole" (quello che sembra pacman) prendendo come taglio del logaritmo l'asse positivo delle x. si ha una singolarità in $z=-i$ che è un polo di ordine 2. premesso questo l'integrale su $gamma$ diventa (dopo aver promosso x a variabile complessa z): $int_(0)^(oo) dx sqrtx / (x+i)^2 - int_(0)^(oo) dx (e^(1/2(log|x|+2 pi i))) / (x+i)^2 = (1+i)I$ il contributo dei due semicerchi è nullo per $R->oo ^^ epsilon->0$ lo stesso ...

Salve, sono nuovo nel forum e vi chiedo scusa se ho scelto la sezione sbagliata e per qualche eventuale errore nella scrittura delle formule. Ho un po' di problemi con un esercizio banale sul calcolo di una norma di una funzione che in R risolvo senza troppi problemi spesso utilizzando il teorema dei residui per integrare. Sia $h(x)=1/(|x|(|x|^2+1)^(1/2))$ determinare per quali p h(x) appartiene a $L^p(R^3)$ e, in caso appartenga a $L^2(R^3)$ calcolare la rispettiva norma. Partendo dalla ...

Salve La geometria differenziale è una branca comune di analisi differenziali e geometria, posto qui perché l'argomento è complesso ed è più collegato al calcolo differenziale che alla geometria più semplice, al primo appartengono infatti gli strumenti per il calcolo di distanze curvilinee. Sappiamo che la geometria euclidea non è l'unica geometria, si è passati dal concetto di retta a quello di geodetica per descrivere le geometrie ed io riflettevo sulle geodetiche: è possibile che la ...

Ciao a tutti! Nello studiare il Teorema dei Residui è sorta questa domanda: se f è una funzione definita in un qualche aperto (connesso) di $CC$, ivi olomorfa tranne al più in un sottoinsieme A di tale aperto che consta di tutte e sole le singolarità ISOLATE di f, è corretto affermare che A non ammette punti di accumulazione nel suddetto insieme di definizione di f? Perchè? Grazie per l'aiuto!

Salve a tutti, sto preparando l'esame di metodi matematici e questo pomeriggio mi sono imbattuta in questo esercizio: Presa la seguente funzione $ f(z) = (z^2+16)^(1/4)/(2z^3-2z^2-4z) $ una volta i trovati i punti di diramazione determinare il taglio ed il numero di fogli di Riemann necessari per rendere la funzione monodroma. Per la prima parte, ovvero trovare i punti di diramazione non ho avuto alcuna difficoltà, e dovrebbero essere $ z = +- 4i $ ; il vero problema arriva con la seconda parte. Ovviamente ...

Ero incerto se postare qui o in Analisi di base, ala fine ho optato per qui, se ritenete che sia più appropriato in un'altra sezione spostate pure, ma veniamo al punto. È piuttosto noto che nell'insieme delle funzioni $C^0(I)$, dove $I=[0,1]$, il sottoinsieme delle funzioni che sono derivabili in almeno un punto è di prima categoria (se dotiamo l'insieme con la topologia compatta-aperta o equivalentemente con la metrica del massimo del valore assoluto della differenza), quindi, ...

Salve, vi scrivo per un aiuto sul seguente esercizio Sia G il prolungamento a zero della funzione $ x in ]-pi,pi]rarr x(1-x^2/pi^2) $ Si calcoli il valore dell'integrale improprio: $ int_(-oo)^(+oo) omega hat(G)(omega) cos (piomega ) domega $ Mi sono da poco approcciato all'argomento e non ho ben capito come applicare operativamente la trasformata di Fourier al calcolo di un integrale improprio. Penso che nel caso descritto si debba applicare la proprietà della trasformata di Fourier di una derivata, ma come si utilizza operativamente? Vi ringrazio ...

Vorrei capire se il ragionamento è corretto. Il teorema dice che se ho una funzione olomorfa in $a$ e $f'(a) \ne 0$, allora esistono intorni $U$ di $a$ e $V$ di $f(a)$ aperti tale che la funzione $f$ è biunivoca da $U$ in $f(U)$, la derivata di $f$ non si annulla mai in $U$ (se non mi sbaglio...) e la funzione inversa è ancora olomorfa. Ho già dimostrato ...

Ciao a tutti, ho provato a calcolare la trasformata di Fourier di una trasformata nel modo seguente. Il risultato che ottengo è giusto, ma vorrei essere sicura che lo sia anche il procedimento e i diversi passaggi perchè può darsi che sia un caso che venga. Dareste un'occhiata per favore? \(\displaystyle F( F( t^3 \delta_5 (t+3) ) ) = (-t)^3 \delta_5 (-t+3) \) Non sono sicura se sia giusto chiamare la variabile a secondo membro di nuovo t (tempo), forse dovrei passare al dominio della ...

Ciao a tutti, avrei un esercizio che non riesco a risolvere sul limite della distribuzione sequente, con \(\displaystyle n \rightarrow \infty \) : \(\displaystyle T_n = \frac{n^2}{1-n} ( \delta_{ \frac{1}{n^2} } - \delta_{ \frac{1}{n} }) \) Il risultato proposto è \(\displaystyle - \delta_{0}' \) però non riesco ad arrivarci, mi dareste una mano per favore?