Funzione di Green
Salve, sto studiando la funzione di Green e c'è una cosa che proprio non mi torna.
Prendo come esempio semplice l'equazione differenziale $ y''(t)=f(t) $ , con le condizioni iniziali $ y(0)=0,y'(0)=0 $
Per trovare la funzione di Green associata posso procedere in due modi.
- risolvo $ g''(t)=delta(t) $ . Risolvendola ottengo
$ g(t)=0 $ se $ t<0 $ , $ g(t)= t $ se $ t >=0 $
e questo mi torna; il problema è che non viene con il metodo della trasformata di Fourier.
-Faccio la trasformata di Fourier ad entrambi i membri e ottengo
$ Y(w)= (-1/w^2)F(w) $
quindi $ G(w) = -1/w^2 $
a questo punto per trovare $ g(t) $ antitrasformo:
g(t) = $ 1/(2pi) * int_(-oo )^(+ oo) (-1/w^2)e^(-iwt)dw $
intanto già qui ho ben due problemi, il primo è che il polo è sul percorso di integrazione ed inoltre è del secondo ordine..quindi ho pensato di scriverlo come $ -(1/(w-ε))(1/(w+ε)) $ , trovare il risultato in funzione di $ epsilon $ e poi fare $ lim_(epsilon -> 0) g_epsilon(t) $ (è possibile farlo?).
Per il teorema dei residui so che, poichè ci sono solo due poli del primo ordine e sono sul percorso di integrazione, e si "scavalcano" con una semicirconferenza, allora l'integrale è $ -i*pi* [Res(-ε)+Res(+ε)] $ (il meno è per il lemma di Jordan,dato che per ora sto consideranto $ t>=0 $,che non so nemmeno se posso applicare dato che la singolarità appartine al bordo della semicirconferenza).
Quindi in conclusione , facendo i calcoli, $ g(t) = lim_(epsilon ->0)1/2sin(epsilont)/epsilon = 1/2t, t>=0 $ ,quindi c'è un fattore $ 1/2$ che non va bene.
Inoltre per il lemma di Jordan, se fosse $ t<0 $, allora dovrei integrare su una circonferneza
rivolta verso l'alto e di nuovo le singolarità sarebbero sul percorso di integrazione, però la funzione di Green dovrebbe essere nulla per $ t<0 $.
Prendo come esempio semplice l'equazione differenziale $ y''(t)=f(t) $ , con le condizioni iniziali $ y(0)=0,y'(0)=0 $
Per trovare la funzione di Green associata posso procedere in due modi.
- risolvo $ g''(t)=delta(t) $ . Risolvendola ottengo
$ g(t)=0 $ se $ t<0 $ , $ g(t)= t $ se $ t >=0 $
e questo mi torna; il problema è che non viene con il metodo della trasformata di Fourier.
-Faccio la trasformata di Fourier ad entrambi i membri e ottengo
$ Y(w)= (-1/w^2)F(w) $
quindi $ G(w) = -1/w^2 $
a questo punto per trovare $ g(t) $ antitrasformo:
g(t) = $ 1/(2pi) * int_(-oo )^(+ oo) (-1/w^2)e^(-iwt)dw $
intanto già qui ho ben due problemi, il primo è che il polo è sul percorso di integrazione ed inoltre è del secondo ordine..quindi ho pensato di scriverlo come $ -(1/(w-ε))(1/(w+ε)) $ , trovare il risultato in funzione di $ epsilon $ e poi fare $ lim_(epsilon -> 0) g_epsilon(t) $ (è possibile farlo?).
Per il teorema dei residui so che, poichè ci sono solo due poli del primo ordine e sono sul percorso di integrazione, e si "scavalcano" con una semicirconferenza, allora l'integrale è $ -i*pi* [Res(-ε)+Res(+ε)] $ (il meno è per il lemma di Jordan,dato che per ora sto consideranto $ t>=0 $,che non so nemmeno se posso applicare dato che la singolarità appartine al bordo della semicirconferenza).
Quindi in conclusione , facendo i calcoli, $ g(t) = lim_(epsilon ->0)1/2sin(epsilont)/epsilon = 1/2t, t>=0 $ ,quindi c'è un fattore $ 1/2$ che non va bene.
Inoltre per il lemma di Jordan, se fosse $ t<0 $, allora dovrei integrare su una circonferneza
rivolta verso l'alto e di nuovo le singolarità sarebbero sul percorso di integrazione, però la funzione di Green dovrebbe essere nulla per $ t<0 $.
Risposte
Up
Non si capisce bene, per questo nessuno risponde. Hai già trovato la funzione di Green:
ed è corretta, quindi perché adesso la stai ricalcolando?
\[g(t)=\begin{cases} 0, & t<0 \\ t, & t\ge 0\end{cases}, \]
ed è corretta, quindi perché adesso la stai ricalcolando?
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