Convergenza in L^1
Buonasera, sono alle prese con il seguente esercizio che mi lascia un po' perplesso.
Ecco il testo:
Sia $(X,\mathcal{M}, \mu)$ uno spazio di misura e sia $\{f_n\}_{n \in NN} \subset L^1 (X,\mathcal{M}, \mu)$ una successione limitata di funzioni a valori reali tali che esiste $f: X \to RR $ tale che $ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ per ogni $x \in X$.
Si dimostri che $f \in L^1 (X,\mathcal{M}, \mu)$ e che $\lim_{n \to \infty} ( |f_n|_1 + |f-f_n|_1) = |f|_1$ dopo aver dimostrato la seguente disuguaglianza elementare:
$\forall \epsilon >0 \quad \exists C_{\epsilon} >0 $ t.c. $ ||s-t|-|s|-|t|| <= \epsilon|t|+ C_{\epsilon} |s|$ per ogni $s,t \in RR$.
Mia risoluzione:
1)
Se $s=0$ la disuguaglianza è verificata per ogni $t \in RR$ e per ogni $\epsilon >0$.
Sia $s \ne 0$.
Considero prima la disuguaglianza $||1-t|-1-|t|| <= \epsilon|t|+ C_{\epsilon}$, cioè ponendo $s=1$. Essa è banalmente verificata per ogni $\epsilon>0$ prendendo $C_{\epsilon}=2$. Moltiplicando a destra e sinistra per $|s|$, ottengo quanto desiderato.
Qui il mio grande dubbio, che me ne faccio di $\epsilon|t|$? Nel punto (3) non lo userò.
2)
$\{f_n\}_{n \in NN}$ limitata significa che esiste $M>0$ t.c. $|f_n|_1
$\int_{X} |f| d\mu = \int_{X} (\lim_{n \to \infty} |f_n|) d\mu <= \underset{n \to \infty}{\text{liminf}} \int_{X}|f_n| d\mu <= M$
e dunque $f \in L^1 (X,\mathcal{M}, \mu)$.
3)
Applico la disuguaglianza del punto (1) con $s=f(x)$ e $t=f(x)-f_n(x)$. Allora per ogni $x \in X$ e per ogni $n \in NN$ vale:
$||f_n(x)|-|f(x)|-|f(x)-f_n(x)|| <= 2|f(x)|$ con $f \in L^1 (X,\mathcal{M}, \mu)$.
Allora posso applicare la convergenza dominata alla successione $g_n(x) = ||f_n(x)|-|f(x)|-|f(x)-f_n(x)||$ ovvero
$\lim_{n \to infty} \int_{X} | |f_n|-|f|-|f-f_n|| d\mu=0$
da cui la tesi.
Cosa ne pensate?
Ecco il testo:
Sia $(X,\mathcal{M}, \mu)$ uno spazio di misura e sia $\{f_n\}_{n \in NN} \subset L^1 (X,\mathcal{M}, \mu)$ una successione limitata di funzioni a valori reali tali che esiste $f: X \to RR $ tale che $ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ per ogni $x \in X$.
Si dimostri che $f \in L^1 (X,\mathcal{M}, \mu)$ e che $\lim_{n \to \infty} ( |f_n|_1 + |f-f_n|_1) = |f|_1$ dopo aver dimostrato la seguente disuguaglianza elementare:
$\forall \epsilon >0 \quad \exists C_{\epsilon} >0 $ t.c. $ ||s-t|-|s|-|t|| <= \epsilon|t|+ C_{\epsilon} |s|$ per ogni $s,t \in RR$.
Mia risoluzione:
1)
Se $s=0$ la disuguaglianza è verificata per ogni $t \in RR$ e per ogni $\epsilon >0$.
Sia $s \ne 0$.
Considero prima la disuguaglianza $||1-t|-1-|t|| <= \epsilon|t|+ C_{\epsilon}$, cioè ponendo $s=1$. Essa è banalmente verificata per ogni $\epsilon>0$ prendendo $C_{\epsilon}=2$. Moltiplicando a destra e sinistra per $|s|$, ottengo quanto desiderato.
Qui il mio grande dubbio, che me ne faccio di $\epsilon|t|$? Nel punto (3) non lo userò.
2)
$\{f_n\}_{n \in NN}$ limitata significa che esiste $M>0$ t.c. $|f_n|_1
$\int_{X} |f| d\mu = \int_{X} (\lim_{n \to \infty} |f_n|) d\mu <= \underset{n \to \infty}{\text{liminf}} \int_{X}|f_n| d\mu <= M$
e dunque $f \in L^1 (X,\mathcal{M}, \mu)$.
3)
Applico la disuguaglianza del punto (1) con $s=f(x)$ e $t=f(x)-f_n(x)$. Allora per ogni $x \in X$ e per ogni $n \in NN$ vale:
$||f_n(x)|-|f(x)|-|f(x)-f_n(x)|| <= 2|f(x)|$ con $f \in L^1 (X,\mathcal{M}, \mu)$.
Allora posso applicare la convergenza dominata alla successione $g_n(x) = ||f_n(x)|-|f(x)|-|f(x)-f_n(x)||$ ovvero
$\lim_{n \to infty} \int_{X} | |f_n|-|f|-|f-f_n|| d\mu=0$
da cui la tesi.
Cosa ne pensate?
Risposte
Mi pare sia un caso particolare del lemma di Brezis-Lieb, anche noto come "missing term in Fatou's lemma". Cercalo sul libro "Analysis" di Lieb e Loss.
Ciao dissonance, grazi per la risposta!
Ho cercato (e trovato) libro e teorema in questione ma, oltre al fatto che lascia la dimostrazione del caso $p=1$ (ovvero il mio) al lettore, non so se quel teorema è del tutto riconducibile al mio caso (non usa proprio la stessa disuguaglianza).
Quando (e se) hai voglia e tempo, potresti dare uno sguardo alla mia dimostrazione e dirmi se secondo te è da buttare o si salva qualcosa?
Ho cercato (e trovato) libro e teorema in questione ma, oltre al fatto che lascia la dimostrazione del caso $p=1$ (ovvero il mio) al lettore, non so se quel teorema è del tutto riconducibile al mio caso (non usa proprio la stessa disuguaglianza).
Quando (e se) hai voglia e tempo, potresti dare uno sguardo alla mia dimostrazione e dirmi se secondo te è da buttare o si salva qualcosa?
Non ho guardato 1, ma 2 e 3 mi sembrano corretti!
Grazie mille Delirium! Rimane il mistero di quella $\epsilon$ allora! Mi sono convinto che sia un residuo dell'adattamento di qualche risultato generale al caso speciale trattato in questo esercizio!
Di solito quelle disuguaglianze con \( \epsilon\) - \(C_\epsilon\) servono per argomenti di interpolazione (ne ho vista di recente una per dimostrare la disuguaglianza di Gårding debole). Ad un certo punto si fissa un \( \epsilon \) opportuno e ne risulta determinato il suo corrispondente \( C_\epsilon \).
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