Dubbio su delta di Dirac e funzione di Heavyside
Salve, sono uno studente di astronomia al terzo anno.
In un corso sulla relatività speciale abbiamo affrontato alcuni argomenti di matematica nuovi, tra cui le distribuzioni, trasformate e convoluzioni. Data la natura del corso, non abbiamo affrontato l'argomento in maniera dettagliata, perciò facendo esercizi ho incontrato delle difficoltà che non riesco a risolvere, in particolare sulle derivate distribuzionali. Per far capire meglio le mie difficoltà vorrei proporre un esempio presente nelle dispense del mio professore:
$ < H'((x-b)/a)|psi(x)> $
Dove $psi$ è una funzione di prova generica, $H'$ è la derivata della funzione gradino e $a<0$. Applicando le varie proprietà ho ottenuto:
$ < H'((x-b)/a)|psi(x)> =|a| =-|a| =$
$=a int_{0}^{+oo} psi'(ax+b)=a [psi(ax+b)]_0^{+oo}=-a psi(b)$
Che è lo stesso risultato ottenuto dal mio professore, con l'unica differenza che lui ha sostituito a $H'$ la delta di Dirac.
Poi però c'è un altro esercizio:
$$
Che ho risolto in maniera analoga al precedente ($a>0$):
$ =|a| =-|a| =$
$=|a| =|a|psi''(b)$
Però stavolta il mio professore ottiene come risultato $a^3psi''(b)$, al che ho pensato che forse derivando $psi(ax+b)$ dovevo derivare anche l'argomento, ottenendo $a$ come fattore, però se ciò fosse vero allora il primo esercizio sarebbe sbagliato, perchè al posto di $a$ avrei $a^2$. Inoltre non ha senso dire che:
$d/dx (psi(ax+b))=a d/dx (psi(ax+b))$
Non riesco proprio a capire dove sia il problema...
In un corso sulla relatività speciale abbiamo affrontato alcuni argomenti di matematica nuovi, tra cui le distribuzioni, trasformate e convoluzioni. Data la natura del corso, non abbiamo affrontato l'argomento in maniera dettagliata, perciò facendo esercizi ho incontrato delle difficoltà che non riesco a risolvere, in particolare sulle derivate distribuzionali. Per far capire meglio le mie difficoltà vorrei proporre un esempio presente nelle dispense del mio professore:
$ < H'((x-b)/a)|psi(x)> $
Dove $psi$ è una funzione di prova generica, $H'$ è la derivata della funzione gradino e $a<0$. Applicando le varie proprietà ho ottenuto:
$ < H'((x-b)/a)|psi(x)> =|a|
$=a int_{0}^{+oo} psi'(ax+b)=a [psi(ax+b)]_0^{+oo}=-a psi(b)$
Che è lo stesso risultato ottenuto dal mio professore, con l'unica differenza che lui ha sostituito a $H'$ la delta di Dirac.
Poi però c'è un altro esercizio:
$
Che ho risolto in maniera analoga al precedente ($a>0$):
$
$=|a|
Però stavolta il mio professore ottiene come risultato $a^3psi''(b)$, al che ho pensato che forse derivando $psi(ax+b)$ dovevo derivare anche l'argomento, ottenendo $a$ come fattore, però se ciò fosse vero allora il primo esercizio sarebbe sbagliato, perchè al posto di $a$ avrei $a^2$. Inoltre non ha senso dire che:
$d/dx (psi(ax+b))=a d/dx (psi(ax+b))$
Non riesco proprio a capire dove sia il problema...
Risposte
Supponendo, per semplicità, $[a gt 0]$:
1. $<\delta(ax)|\phi(x)> =\int_{-oo}^{+oo}\delta(ax)\phi(x)dx=$
$=1/a\int_{-oo}^{+oo}\delta(t)\phi(t/a)dt=1/a\phi(0)$
2. $<\delta'(ax)|\phi(x)> =\int_{-oo}^{+oo}\delta'(ax)\phi(x)dx=$
$=1/a\int_{-oo}^{+oo}\delta'(t)\phi(t/a)dt=-1/a^2\int_{-oo}^{+oo}\delta(t)\phi'(t/a)dt=-1/a^2\phi'(0)$
3. $<\delta''(ax)|\phi(x)> =\int_{-oo}^{+oo}\delta''(ax)\phi(x)dx=$
$=1/a\int_{-oo}^{+oo}\delta''(t)\phi(t/a)dt=-1/a^2\int_{-oo}^{+oo}\delta'(t)\phi'(t/a)dt=1/a^3\int_{-oo}^{+oo}\delta(t)\phi''(t/a)dt=1/a^3\phi''(0)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo