Dubbio teoria funzioni a quadrato sommabile/Uguaglianza di Parceval?

[Omi1]

Salve a tutti, ho iniziato a studiare le funzioni a quadrato sommabili e tutta la teoria che ne concerne. Sono arrivato al fatto che se una funzione è di L2 allora essa si può scrivere come :
$ ||x||^2=T*|ao|^2+T/2sum_(k = \1 ) (|ak|^2+|bk|^2)=sum_(k = \-oo ) |Ck|^2 $
Da qui dice che questa formula implica che :
$ lim_(k -> oo ) ak=lim_(k -> oo )bk=lim_(k -> oo )Ck=0 $ e non capisco come mai. Qualcuno potrebbe spiegarmi? Grazie mille.

[impe1]

"Omi":se una funzione è di L2

$ lim_(k -> oo ) ak=lim_(k -> oo )bk=lim_(k -> oo )Ck=0 $

faccio qualche ragionamento, verifica tu se dico fesserie o meno:

se:

[*:3r0fslg5]$f$ è $T$-periodica [/*:m:3r0fslg5][*:3r0fslg5]$f in L^2(-T/2 ,+T/2)$[/*:m:3r0fslg5][/list:u:3r0fslg5]

allora la serie di Fourier di $f$ converge in media quadratica ad $f$.

Date le due ipotesi, allora $a_n$ e $b_n$ sono finiti (basta che scrivi la definizione di $a_n$ e $b_n$ e sfrutti la seconda ipotesi).
Se la serie di Fourier di $f$ converge ad $f$, allora necessariamente il limite per $n$ che va a più infinito di $a_n$ è uguale a $0$ (idem per $b_n$).
Da cui ne consegue che $c_n$ tende a zero per $n$ che va a più infinito.

nota: ho chiamato $n$ quello che tu hai chiamato $k$, pardon

[dissonance]

Più semplicemente, bisogna ricordarsi un fatto fondamentale delle serie numeriche, la "condizione necessaria alla convergenza". Se una serie converge allora il termine generale è necessariamente infinitesimo.

[Omi1]

Grazie mille dissonance, mi era completamente sfuggita.