Funzioni continue a supporto compatto
Ed eccoci di nuovo qui.... con tanta incapacità in più 
Non riesco a capire se le funzioni \( \mathrm{ \phi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty}([a,b]) } \) si annullino o meno sul bordo di $[a,b]$. Sto facendo cenni di calcolo delle variazioni e ogni volta che incontro un termine del tipo \( \Big[ f(x)\phi(x) \Big]_{x=a}^{x=b} \), il quale esce da una integrazione per parti, mi sento dire che fa 0. Mi direste il motivo? c_c
Non riesco a capire se le funzioni \( \mathrm{ \phi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty}([a,b]) } \) si annullino o meno sul bordo di $[a,b]$. Sto facendo cenni di calcolo delle variazioni e ogni volta che incontro un termine del tipo \( \Big[ f(x)\phi(x) \Big]_{x=a}^{x=b} \), il quale esce da una integrazione per parti, mi sento dire che fa 0. Mi direste il motivo? c_c
Risposte
"anto_zoolander":
Ed eccoci di nuovo qui.... con tanta incapacità in più
Non riesco a capire se le funzioni \( \mathrm{ \phi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty}([a,b]) } \) si annullino o meno sul bordo di $[a,b]$.
Se non si annulla sul bordo, come fa ad essere continua?
(La notazione vuol dire che fuori da $[a,b]$ è 0, no?)
Nei miei pochi studi di analisi superiore non ricordo di aver mai visto funzioni a supporto compatto su insiemi diversi da \(\mathbb{R}^n\), quindi mi chiedo: com'è definito quell'insieme? È evidente che ogni funzione continua con dominio compatto ha anche supporto compatto (insomma ogni chiuso in un compatto è compatto). Quindi su \([a,b]\) ogni funzione continua è a supporto compatto.
Quindi suppongo che la notazione voglia dire quello che dice ghira.
Quindi suppongo che la notazione voglia dire quello che dice ghira.
"vict85":
Quindi suppongo che la notazione voglia dire quello che dice ghira.
Non ho mai visto quella notazione ma se vuol dire quello che ho inventato dal nulla (beh, dai contenuti della richiesta), allora sì la funzione deve essere 0 ad $a$ e $b$.
Sembra solo insiemistica: se il supporto di \( \phi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty}([a,b]) \) è contenuto in \([a,b]\) per definizione, allora \(\phi \equiv 0\) sul complementare di \([a,b]\)...
Oltre a quello che hanno gia' detto altri qui sopra, aggiungerei che quel termine svanisce al bordo proprio perche' e' utile che lo faccia. Nel caso di Poisson con Dirichlet omogenee, per una $f \in L^2$, dopo aver integrato per parti con una $\phi \in H_0^1(\Omega)$ hai
$ \int_{\Omega} \grad u \cdot \grad \phi = \int_{\Omega} f \phi + \int_{\partial \Omega} \partial_n u \phi$
e poiche' $\phi$ e' zero al bordo (nel senso delle tracce...) l'ultimo termine scompare, ed e' un bene perche' non e' che sappiamo molto sulla derivata normale di $u$ a priori. Oltretutto, questo complicherebbe notevolmente la dimostrazione delle ipotesi per Lax-Milgram. Per non parlare del fatto che dal punto di vista pratico complicherebbe abbastanza le cose.
$ \int_{\Omega} \grad u \cdot \grad \phi = \int_{\Omega} f \phi + \int_{\partial \Omega} \partial_n u \phi$
e poiche' $\phi$ e' zero al bordo (nel senso delle tracce...) l'ultimo termine scompare, ed e' un bene perche' non e' che sappiamo molto sulla derivata normale di $u$ a priori. Oltretutto, questo complicherebbe notevolmente la dimostrazione delle ipotesi per Lax-Milgram. Per non parlare del fatto che dal punto di vista pratico complicherebbe abbastanza le cose.
Se una funziona è continua e a supporto compatto \( f \in C_c([a,b]) \) allora \(f(a)=f(b) = 0 \) per forza!
Infatti supponi che \( f(a) \neq 0 \) per continuità abbiamo che esiste \( \delta \) tale che \( f(x) \neq 0 \) per ogni \(x \in (a-\delta,a+\delta) \) pertanto abbiamo che \( (a-\delta,a) \subseteq \operatorname{supp}(f) \) che contraddice il fatto che \( \operatorname{supp}(f) \subseteq [a,b] \). Se togli la continuità allora puoi benissimo avere \( f(a) \neq 0 \) ad esempio \( f(x) = \mathbf{1}_{[a,b]}(x) \).
Infatti supponi che \( f(a) \neq 0 \) per continuità abbiamo che esiste \( \delta \) tale che \( f(x) \neq 0 \) per ogni \(x \in (a-\delta,a+\delta) \) pertanto abbiamo che \( (a-\delta,a) \subseteq \operatorname{supp}(f) \) che contraddice il fatto che \( \operatorname{supp}(f) \subseteq [a,b] \). Se togli la continuità allora puoi benissimo avere \( f(a) \neq 0 \) ad esempio \( f(x) = \mathbf{1}_{[a,b]}(x) \).
"ghira":
[quote="anto_zoolander"]Ed eccoci di nuovo qui.... con tanta incapacità in più
Non riesco a capire se le funzioni \( \mathrm{ \phi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty}([a,b]) } \) si annullino o meno sul bordo di $[a,b]$.
Se non si annulla sul bordo, come fa ad essere continua?
(La notazione vuol dire che fuori da $[a,b]$ è 0, no?)[/quote]
Scusate, non ho capito una cosa, ma $[a,b]$ è l'insieme di definizione della funzione, non il supporto, no?
Io ho visto questa notazione.
Anto, guarda un po' qua se ti può essere utile:
https://www.matematicamente.it/forum/in ... 78357.html
Grazie per le risposte avete fugato il mio dubbio 
Il problema era sulla definizione, in particolare cito megas
Quello che non capisco è se queste funzioni $C_c$ vadano considerate su tutto $RR$ ma con supporto in $[a.b]$, perché in questo caso è ovvio che sono nulle sul bordo.
In istituzioni di analisi quando integriamo per parti, dove è presente una funzione continua a supporto compatto, i termini di bordo si annullano sempre: se considerassi per esempio $varphi(x)=x+1$ su $[0,1]$ sarebbe continua e a supporto compatto ma non si annullerebbero i termini di bordo.
A questo punto penso che siano funzioni su $RR$ con supporto in $[a,b]$
edit
@gabriella è proprio quello che non capisco
Il problema era sulla definizione, in particolare cito megas
"megas_archon":
Sembra solo insiemistica: se il supporto di \( \phi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty}([a,b]) \) è contenuto in \( [a,b] \) per definizione, allora \( \phi \equiv 0 \) sul complementare di \( [a,b] \)...
Quello che non capisco è se queste funzioni $C_c$ vadano considerate su tutto $RR$ ma con supporto in $[a.b]$, perché in questo caso è ovvio che sono nulle sul bordo.
In istituzioni di analisi quando integriamo per parti, dove è presente una funzione continua a supporto compatto, i termini di bordo si annullano sempre: se considerassi per esempio $varphi(x)=x+1$ su $[0,1]$ sarebbe continua e a supporto compatto ma non si annullerebbero i termini di bordo.
A questo punto penso che siano funzioni su $RR$ con supporto in $[a,b]$
edit
@gabriella è proprio quello che non capisco
Infatti, ma dicevo che io ho visto quella notazione, e quello tra parentesi era sempre l'insieme di definizione della funzione, non il supporto.
Non so se poi si usa anche indicare così il supporto.
Adesso dovrei andare a ripescare i posti vari in cui l'ho visto, ma ad esempio in Gilardi Analisi 3 è così, nell'indicare le funzioni a supporto compatto tra parentesi c'è l'insieme di definizione, non il supporto o l'insieme in cui è contenuto il supporto.
[edit] quello che voglio dire, se non prendo un abbaglio, e se la notazione è quella che credo, è che nel tuo caso deve essere nullo un integrale da $a$ a $b$, fatto per parti, non è che la funzione deve per forza essere nulla sui bordi.
E il link che ho messo con la risposta di Luca Lussardi mi sembrava in tema.
Non so se poi si usa anche indicare così il supporto.
Adesso dovrei andare a ripescare i posti vari in cui l'ho visto, ma ad esempio in Gilardi Analisi 3 è così, nell'indicare le funzioni a supporto compatto tra parentesi c'è l'insieme di definizione, non il supporto o l'insieme in cui è contenuto il supporto.
[edit] quello che voglio dire, se non prendo un abbaglio, e se la notazione è quella che credo, è che nel tuo caso deve essere nullo un integrale da $a$ a $b$, fatto per parti, non è che la funzione deve per forza essere nulla sui bordi.
E il link che ho messo con la risposta di Luca Lussardi mi sembrava in tema.
Infatti, ma dicevo che io ho visto quella notazione, e quello tra parentesi era sempre l'insieme di definizione della funzione, non il supporto.
Non so se poi si usa anche indicare così il supporto.
Adesso dovrei andare a ripescare i posti vari in cui l'ho visto, ma ad esempio in Gilardi Analisi 3 è così, nell'indicare le funzioni a supporto compatto tra parentesi c'è l'insieme di definizione, non il supporto o l'insieme in cui è contenuto il supporto.
[edit] quello che voglio dire, se non prendo un abbaglio, e se la notazione è quella che credo, che nel tuo caso deve essere nullo un integrale da $a$ a $b$, fatto per parti, non è che la funzione deve per forza essere nulla sui bordi (cosa evidente se la funzione fosse continua su tutto $R$).
E il link che ho messo con la risposta di Luca Lussardi mi sembrava in tema.
Non so se poi si usa anche indicare così il supporto.
Adesso dovrei andare a ripescare i posti vari in cui l'ho visto, ma ad esempio in Gilardi Analisi 3 è così, nell'indicare le funzioni a supporto compatto tra parentesi c'è l'insieme di definizione, non il supporto o l'insieme in cui è contenuto il supporto.
[edit] quello che voglio dire, se non prendo un abbaglio, e se la notazione è quella che credo, che nel tuo caso deve essere nullo un integrale da $a$ a $b$, fatto per parti, non è che la funzione deve per forza essere nulla sui bordi (cosa evidente se la funzione fosse continua su tutto $R$).
E il link che ho messo con la risposta di Luca Lussardi mi sembrava in tema.
@anto_zoolander: è quello che non capiscono tutti. Ma sei tu che hai posto il problema, che libro usi?
Tra l'altro, come ho fatto notare prima, se \([a,b]\) è il dominio allora \(\mathcal{C}^{\infty}_{c}([a,b]) = \mathcal{C}^{\infty}([a,b])\) (ogni funzione continua su un compatto ha supporto compatto). Cosa che invece non succederebbe se il dominio fosse \((a,b)\).
Tra l'altro, come ho fatto notare prima, se \([a,b]\) è il dominio allora \(\mathcal{C}^{\infty}_{c}([a,b]) = \mathcal{C}^{\infty}([a,b])\) (ogni funzione continua su un compatto ha supporto compatto). Cosa che invece non succederebbe se il dominio fosse \((a,b)\).
"anto_zoolander":
\( \mathrm{ \phi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty}([a,b]) } \)
Sei sicuro che non sia \( \mathcal{C}_{c}^{k}(a,b) \) ?? Perché il mio prof di analisi 4 usava questa notazione per indicare una funzione definita sull'aperto \( (a,b) \) e tale che è \(C^k \) - con \( 1 \leq k \leq \infty \) - e a supporto compatto in \( (a,b) \) in tal caso le nostre risposte hanno comunque validità. Nel senso che esiste un \( \epsilon > 0 \) tale per cui ogni punto che dista \( \epsilon \) dal bordo di \( (a,b) \) si annulla via la funzione.
"vict85":
è quello che non capiscono tutti. Ma sei tu che hai posto il problema, che libro usi?
Parlavamo tra ex colleghi fondamentalmente, non è qualcosa che ho letto da qualche parte purtroppo.
"3m0o":
Sei sicuro che non sia $C_c^k(a,b)$??
Si alla fine per un errore di scrittura(nei miei appunti) ho perso del tempo dietro a 'sta cosa. Anche se è uguale ma con $k=infty$
Comunque sia non mi è del tutto chiara una stupidata: è la chiusura nella topologia di sottospazio a dover essere compatta?
Il dubbio mi sorge perché se non specificato la funzione $varphi(x)=1-x^2$ su $(-1,1)$ potrebbe tranquillamente avere come supporto $[-1,1]$.
La chiusura è con la topologia del sottospazio. Quindi la chiusura in \(S\) di \(A\) è \(\overline{A}\cap S\), dove \(\overline{A}\) è la chiusura nello spazio intero.
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