Convergenza serie di Fourier

[Nexus991]

Salve, sto avendo dei problemi sull'argomento convergenza della serie di Fourier, ho capito questo, datemi conferma:
Per $f \in L^2[a,b]$ la convergenza in $L^2$ è garantita sempre e la convergenza puntuale quasi ovunque
Per $f \in L^1[a,b]$ non è garantita né la convergenza in $L^1$ ne quella puntuale. Ma quali sono le condizioni per cui si ha convergenza in $L^1$ e/o puntuale? (Se esistono)

[otta96]

Non ricordo benissimo tutti i casi, ma di sicuro se la funzione è $L^2$, la convergenza lo è pure, mentre se vuoi la convergenza puntuale dovresti avere la funzione a variazione limitata, e la serie converge alla media dei limiti destri e sinistri nel punto, mentre se vuoi convergenza uniforme prendi una funzione $C^1$.

[impe1]

"Nexus99":
Per $ f \in L^2[a,b] $ la convergenza in $ L^2 $ è garantita sempre e la convergenza puntuale quasi ovunque

Per $ f \in L^1[a,b] $ non è garantita né la convergenza in $ L^1 $ ne quella puntuale. Ma quali sono le condizioni per cui si ha convergenza in $ L^1 $ e/o puntuale? (Se esistono)

Se non ricordo male,
posto che $f in L^2(a,b)$, la convergenza puntuale è garantita se la funzione è periodica di periodo $T$ e se

$a=-T/2 (1+c) $

$b = T/2 (1+c) $

$c in (NN uu {0})$

Idem per $L^1(a,b)$

Ovviamente la serie converge a

$tilde(f)(x)= (f(x+)+f(x-))/2$

[Nexus991]

Perfetto grazie

[dissonance]

"impe":[quote="Nexus99"]
Per $ f \in L^2[a,b] $ la convergenza in $ L^2 $ è garantita sempre e la convergenza puntuale quasi ovunque

Per $ f \in L^1[a,b] $ non è garantita né la convergenza in $ L^1 $ ne quella puntuale. Ma quali sono le condizioni per cui si ha convergenza in $ L^1 $ e/o puntuale? (Se esistono)

Se non ricordo male,
posto che $f in L^2(a,b)$, la convergenza puntuale è garantita [...]
[...]
$tilde(f)(x)= (f(x+)+f(x-))/2$[/quote]
Purtroppo è più complicato di così; per una generica funzione in $L^2$ l'espressione $tilde(f)(x)= (f(x+)+f(x-))/2$ non ha senso per ogni $x$ ma solo quasi ovunque, e questo è all'origine di parecchie complicazioni tecniche. È vero che la serie di Fourier di una funzione $L^2$ converge quasi ovunque, ma questo è un grosso e complicato teorema (di L. Carleson). Michael Lacey ha scritto un piccolo trattato su questo teorema, qui: https://arxiv.org/abs/math/0307008. (Lacey è un matematico molto conosciuto nel campo dell'analisi armonica).

Stabilire se una serie di Fourier converge puntualmente può essere molto complicato. Un buon criterio, non troppo difficile, è quello di Dini: https://en.wikipedia.org/wiki/Dini_criterion. Una immediata conseguenza è che una funzione regolare a tratti ha la serie di Fourier puntualmente convergente a $tilde(f)(x)= (f(x+)+f(x-))/2$, come dice giustamente impe.

[Nexus991]

Ma questi discorsi valgono anche per $L^1$?

[dissonance]

Quali discorsi? Sei proprio sicuro di avere letto la mia risposta?

[Studente Anonimo]

Magari può interessarti questo teorema di Dirichlet (anche se in altra forma)
Sia \( \alpha \in ]0,1] \) e \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) Una funzione \(2\pi \) periodica e \(L^1(-\pi,\pi) \).
Se \( f \) è \(C^{0,\alpha} \) allora la serie di Fourier \( F_N f (x)\) converge a \(f(x) \) per ogni \(x \in \mathbb{R} \)

NB: Il teorema è falso in generale se \( f \) è solo continua, dev'essere Holder continua. Si può indebolire l'ipotesi della continuità nel senso di Holder rimpiazzandolo con il criterio di Dini.

[Nexus991]

"dissonance":Quali discorsi? Sei proprio sicuro di avere letto la mia risposta?

La parte del teorema di Dini