Delta di dirac per una funzione?

[Omi1]

Salve date queste tre funzioni( $ u(t) $ funzione di Heaviside):
-$ e^(-t)u(t)*delta (t-1) $
- $ e^(-t)u(t)*delta (t+1) $
- $ delta(t)*u(t-1) $

È possibile scrivere che le tre valgono in ordine:

- $ e^-1*delta(t-1) $
-$ 0 $
-$ 0 $
Cioè è possibile applicare la proprietà della delta di dirac
$ alpha (t)delta(t-t0)=alpha (t0)delta(t-t0) $ ?

[LoreT314]

Sì, perché il dubbio? Se non sai se è corretto prova a vedere se agiscono allo stesso modo sulle funzioni test. Ad esempio con la seconda chiaramente $\int 0*\phi(x)dx=0$ ma anche $\int e^{-x}u(x)\delta(x+1)\phi(x)dx=e^{-1}*u(-1)\phi(-1)=0$ quindi se agiscono sullo stesso modo su una generica funzione test vuol dire che sono la stessa distribuzione.

[Omi1]

Grazie mille Lore. Il dubbio veniva dal fatto che dalla teoria dice che la funzione test $ alpha varphi $ deve essere di classe $ C^oo $ ed essendo che la funzione gradino non è definita in 0, avevo questo dubbio.

[LoreT314]

Il gradino non è la funzione test. Però ho capito quello che dici. Ad esempio $u(x)\delta(x)$ non sarebbe ben definita. Però nei tuoi casi funziona perché in un intorno della singolarità della $\delta$ la funzione davanti è continua.

[Omi1]

Adesso mi è più chiaro, però non riesco ancora a capacitarmene.. come è possibile che una funzione come quella gradino non definita in zero, moltiplicata per una funzione continua ovunque come la funzione esponenziale, dia luogo a una funzione definita in zero? Non sarebbe la stessa cosa di analizzare $ e^t/t delta(t) $ ?

[LoreT314]

Il punto è che la tua $\delta$ non è centrata in 0. Intorno alla singolarità della $\delta$ è tutto liscio.