Curiosità su trasformata di Fourier?
Salve a tutti, ho iniziato a fare esercizi sulle trasformate di Fourier e volevo capire una cosa. Preso questo segnale, di cui ho fatto la trasformata di Fourier sotto :
$ x(t)=-t[u(t+pi)-u(t)]+pi[u(t)-u(t-pi)] $
$ X(w)=e^(-ipiw)/w^2-1/w^2-(pii)/w $ ho visto che in numerosi esercizi, per ricavare la trasformata di Fourier in zero, usa fare il limite, però in questo caso, nel ricavare $ X(0) $ il $ lim_(w -> 0) X(w) $ viene $ -oo $. Mentre
se facessi $ X(0)= -int_(-pi)^(0) t dt +piint_(0)^(pi) dt =3/2pi^2 $ . Come mai questa cosa?
$ x(t)=-t[u(t+pi)-u(t)]+pi[u(t)-u(t-pi)] $
$ X(w)=e^(-ipiw)/w^2-1/w^2-(pii)/w $ ho visto che in numerosi esercizi, per ricavare la trasformata di Fourier in zero, usa fare il limite, però in questo caso, nel ricavare $ X(0) $ il $ lim_(w -> 0) X(w) $ viene $ -oo $. Mentre
se facessi $ X(0)= -int_(-pi)^(0) t dt +piint_(0)^(pi) dt =3/2pi^2 $ . Come mai questa cosa?
Risposte
Intanto io ti suggerirei di concentrarti sul segnale
$u(t) - u(t-1)$
e di calcolare
- la trasformata usando le tabelle delle trasformate notevole
- la trasformata usandola definizione diretta
- trovare un "modo alternativo" di calcolare la trasformata su quel segnale.
In tutti i casi cercare anche di trovare il valore medio usando la trasformata.
$u(t) - u(t-1)$
e di calcolare
- la trasformata usando le tabelle delle trasformate notevole
- la trasformata usandola definizione diretta
- trovare un "modo alternativo" di calcolare la trasformata su quel segnale.
In tutti i casi cercare anche di trovare il valore medio usando la trasformata.
Ok Quinzio svolgendo i calcoli ottengo:
-$ 1/(jw)+pi\delta-e^(-jw)(1/(jw)+pi\delta) $
- $ int_(0)^(-1) e^(-jwt) dt=1/(jw)-e^(-jwt)/(jw) $
- $ x'=\delta(t)-\delta(t-1) $ --> $ jwX(w)=1-e^(-jw) $ -->
$ X(w)=1/(jw)-e^(-jw)/(jw) $
Escono trasformte di Fourier diverse.. questo però cosa significa?
-$ 1/(jw)+pi\delta-e^(-jw)(1/(jw)+pi\delta) $
- $ int_(0)^(-1) e^(-jwt) dt=1/(jw)-e^(-jwt)/(jw) $
- $ x'=\delta(t)-\delta(t-1) $ --> $ jwX(w)=1-e^(-jw) $ -->
$ X(w)=1/(jw)-e^(-jw)/(jw) $
Escono trasformte di Fourier diverse.. questo però cosa significa?
Speravo che tu rifacessi un certo ragionamento che ho fatto io, ma spesso questo modo di parlare di matematica non funziona.
Il fatto per cui non si riesce a calcolare il valore $X(0)$ di quella funzione e' che la trasformata di Fourier di quella funzione si puo' calcolare in 2 modi:
- il primo sfrutta la linearita' della trasformata.
$F{f_1(t)+f_2(t)} (\omega) = F{f_1(t)} (\omega)+F{f_2(t)} (\omega)$
Dopo aver applicato la proprieta' di linearita' a $u(t)- u(t-1)$ si procede a fare la trasformata sulla singola funzione a gradino.
- il secondo modo e' in pratica "accorgersi" che la funzione $u(t)- u(t-1)$ e' la cosiddetta funzione porta o rettangolare, e la trasformata si puo' calcolare direttamente su questa funzione senza applicare la linearita'.
In un modo si riesce a calcolare $X(0)$, nell'altro modo no, usando le tabelle di trasformate notevoli.
Per capire la differenza, dovresti applicare la definizione diretta di trasformata, usando l'integrale e la definizione:
$F{f(t)}(\omega) = \int f(t) e^{-j2 \pi \omega t}dt$.
A un certo punto ti accorgi che c'e' qualcosa che non funziona nell'applicazione della definizione a una delle due funzioni elementari di cui ho parlato, mentre per l'altra non c'e' problema.
E quindi a questo punto dovresti chiederti come mai le tabelle delle trasformate ti danno un risultato da applicare in entrambi i casi, anche se in uno dei 2 e' palese che qualcosa non funziona.
Pero' questi ragionamenti dovresti farli da solo, altrimenti serve a poco.
Il fatto per cui non si riesce a calcolare il valore $X(0)$ di quella funzione e' che la trasformata di Fourier di quella funzione si puo' calcolare in 2 modi:
- il primo sfrutta la linearita' della trasformata.
$F{f_1(t)+f_2(t)} (\omega) = F{f_1(t)} (\omega)+F{f_2(t)} (\omega)$
Dopo aver applicato la proprieta' di linearita' a $u(t)- u(t-1)$ si procede a fare la trasformata sulla singola funzione a gradino.
- il secondo modo e' in pratica "accorgersi" che la funzione $u(t)- u(t-1)$ e' la cosiddetta funzione porta o rettangolare, e la trasformata si puo' calcolare direttamente su questa funzione senza applicare la linearita'.
In un modo si riesce a calcolare $X(0)$, nell'altro modo no, usando le tabelle di trasformate notevoli.
Per capire la differenza, dovresti applicare la definizione diretta di trasformata, usando l'integrale e la definizione:
$F{f(t)}(\omega) = \int f(t) e^{-j2 \pi \omega t}dt$.
A un certo punto ti accorgi che c'e' qualcosa che non funziona nell'applicazione della definizione a una delle due funzioni elementari di cui ho parlato, mentre per l'altra non c'e' problema.
E quindi a questo punto dovresti chiederti come mai le tabelle delle trasformate ti danno un risultato da applicare in entrambi i casi, anche se in uno dei 2 e' palese che qualcosa non funziona.
Pero' questi ragionamenti dovresti farli da solo, altrimenti serve a poco.
Grazie mille per la risposta Quinzio. In realtà non abbiamo nemmeno studiato la funzione porta e infatti me la sono studiato da solo grazie al tuo consiglio. Ti dico la verità, ho provato a fare le trasformate con la definizione che mi hai dato e non mi viene una risposta in mente, c'entra per caso la sommabilità della funzione gradino?
La funzione a gradino non è mica sommabile.
Ciao dissonance, per questo $ X(0)= lim_(w -> 0) X(w) $ nel caso si faccia la trasformata del gradino non esiste
( in quanto il gradino non è sommabile) mentre, nel caso invece si utilizzi la funzione porta esiste (in quanto sommabile) , è a causa delle sommabilità?
( in quanto il gradino non è sommabile) mentre, nel caso invece si utilizzi la funzione porta esiste (in quanto sommabile) , è a causa delle sommabilità?
Più o meno si, ma dovresti riflettere da solo con calma, non così. Per dirla meglio, una funzione sommabile ha la trasformata di Fourier che esiste in tutti i punti, è limitata ed è continua. Se invece la funzione non è sommabile possono succedere cose più strane.
Grazie mille dissonance, approfondirò sicuramente questo aspetto. Però ritornando agli esercizi, esiste un modo per capire subito quando si può fare il limite e quando si deve procedere con la definizione della trasformata di Fourier calcolata in 0? Oppure è necessario fare per forza il limite e accorgersi che non esiste ogni volta?
No, non si ragiona così. Tu devi sapere da prima che risultato ti aspetti. Quindi, se vedi una funzione gradino, sai che nella trasformata potrebbe apparire qualche termine singolare, qualche delta di Dirac o robe strane così. Invece se vedi una porta devi sapere a occhi chiusi che ti deve venire fuori una roba continua e limitata. Questo ti deve guidare. Se nel risultato di una porta ci metti una delta di Dirac, o un termine $1/w$, ti bocciano.
Chiaro, ancora grazie.
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