Analisi superiore

Salve sto iniziando a studiare le serie di Fourier e già sono iniziati a sorgermi i primi dubbi, in particolare sulla conv. puntuale. L'esercizio è, Prolungare per periodicità la seguente funzione: $ f={ ( x \ \ \ \ se \ \ \ -pi<x<pi ),( 0 \ \ \ \ se \ \ \ x=+-pi ):} $ Dal disegno ottengo una serie di rette y=x e dei salti in tutti gli estremi della funzione periodica. Quello che non capisco però è appunto come calcola i limiti per la conv. puntuale. Prima di tutto vede se il segnale è regolarizzato e quindi calcola : $ f(pi^-)=lim_(x -> pi^-) x=pi $ e ...

Ciao a tutti, Nella sezione di un esercizio di elaborazione digitale dei segnali, data la seguente equazione alle differenze: $y(n) = x(n) + y(n-1) + y(n-2)$ si richiede di determinare le condizioni iniziali $y(n-1)$ e $y(n-2)$ tali che $y(0) = y(1) = 1$ quando $x(n) = \delta(n)$, essendo $\delta(n)$ l'impulso unitario per $n = 0$. Banalmente, direi che se \(\begin{aligned} y(0) & = x(0) + y(-1) + y(-2)\\ 1 &= 1 + y(-1) + y(-2) \end{aligned} \) la somma ...

Buonasera a tutti, Ho calcolato la trasformata di Hilbert della funzione $rect $ nel seguente modo : $H(ft)=v.p.int(ir)f(t)/(t-s)ds=v.p.int(-1/2,1/2)1/(1-s)ds=-Log(1-s)=Log 2$ Ho considerato dapprima l'integrazione su tutto IR, poi solo tra $[-1/2;1/2]$ trascurando il valore principale in quanto la funzione è continua e costante nell'intervallo considerato e 0 altrove. Non mi sembra di aver commesso errori o sbaglio ? Grazie in anticipo a tutti del feedback . Buona serata.

Buongiorno a tutti, Sto calcolando la seguente Trasformata di Fourier : $1/(1+x^4)$ Ho dapprima trovato determinato i poli che sono 4: $zk=e^(pi/4+kpi/2$ con $k=0,1,2,3$ Successivamente applico il teorema dei residui nel semipiano superiore ( poi dovrei effettuare lo stesso procedimento nel semipiano inferiore) ma qui mi sorge un dubbio : $Res( 1/(1+x^4), e^(pi/4))$ NON riesco a calcolarlo ! Mi blocco nel più banale dei calcoli. Qualcuno potrebbe gentilmente mostrarmi come calcolare questo ...

Buongiorno a tutti, Sono in difficoltà con il calcolo della seguente Trasformata di Fourier. La funzione da trasformare è : $2x*e^(-3x^2)$ Ora procedo applicando la definizione della Trasformata di Fourier e il Lemma di Jordan ma mi blocco durante il calcolo non riuscendo a sviluppare l'integrale. Penso mi manchi qualche step per arrivare alla soluzione. Qualcuno potrebbe chiarirmi questo esercizio in modo da non ripetere gli stessi errori ? Grazie

Buonasera a tutti, Sto trovando delle difficoltà nel calcolare il seguente sviluppo di Laurent : f(z) = 1/ ((z-2)*(z-5)^2) nel punto z0 =2 prima e nel punto z1=5 poi. Ora l'ho impostata cercando di ricondurmi ad una serie geometrica manipolando la funzione al denominatore ma quel termine elevato alla seconda mi "scombina i piani " e mi blocco nella risoluzione. Chiederei quindi un aiuto su come procedere. Grazie a tutti della disponibilità.

Buongiorno a tutti, Ho risolto il seguente integrale applicando il Th. della convergenza dominata : $∫(arctg(n^2*x))/(1+nx^2) dx$ per $ n->+∞$ Chiamando $fn(x)=(arctg(n^2*x))/(1+nx^2)$ calcolo il limite di $fn(x)$ per $ n->+∞$ =$0$. Maggioro poi $|fn(x)|$ con $|1/(1+n*x^2)|$ che ha $∫|1/(1+n*x^2)| <+∞$ quindi posso applicare il th. della convergenza dominata e risulta che l'integrale da $0$. Mi chiedo se sia corretta la maggiorazione che ho applicato ...

Buongiorno a tutti, Non ho ben chiaro come dovrei procedere per determinare per quali $p>0$ la seguente funzione appartiene a $Lp$ : $f(x)=e^(-x^2)/(sqrt(|x|)$ Procedo ricercando $|f(x)|^p$ ma mi blocco quasi subito in quanto non riesco a ricondurmi ad una forma che mi permetta di determinare $p$. Ringrazio per il sostegno e buona giornata.

Salve a tutti ho il seguente integrale : $ int_(|z|=1) (z^5dz)/((z-2)*(z^2+2z+4) $ Vorrei calcolare questo integrale con i residui, ma mi accorgo subito, che nessun punto di discontinuità è contenuto nel dominio di integrazione. Quindi come procedo? Grazie a tutti in anticipo.

Buonasera a tutti, Starei provando a calcolare il seguente integrale con il metodo dei residui di una funzione olomorfa su cammino chiuso : $\int 1/(4+cos(t)) dt$ in $[0,2pi]$ Il punto è che sono arrugginito nel calcolo complesso di base e mi risulta che non vi siano punti di singolarità ma non sono assolutamente sicuro della cosa. Qualcuno potrebbe indicarmi come procedere ? Grazie e buona serata

Siano \( E \) ed \( F \) due spazi normati (facciamo reali). Sia \( \hom(E,F) \) lo spazio normato di tutte le applicazioni lineari limitate \( T\colon E\to F \), equipaggiato con la norma operatoriale definita come \[ \lVert T\rVert = \sup_{\substack{\xi\in E\\0 < \lVert \xi\rVert \leqq 1}}\frac{\lVert T(\xi)\rVert}{\lVert \xi\rVert} \] per ogni \( T\in \hom(E,F) \). Un'idea intuitiva di cosa "misuri" \( \lVert T\rVert \) ce l'ho: mi dice quanto al più \( T \) allunga il vettore \( \xi ...

Buonasera a tutti, Avrei un dubbio sulla soluzione del seguente PdC trovato mediante l'utilizzo della trasformata di Laplace : $ y' + y = e^-t$ $ y(0) =0$ con $t>0$ Mediante la L-trasformata e il calcolo dei residui ottengo la soluzione del problema omogeneo : $ y(t)= H(t)*e^(-t)$ con $H(t)$ gradino di Heaviside. Quando vado a risolvere il problema non omogeneo imponendo : $ Y(z)= (1/(p(z))*1/(1+z))$ ottengo dal calcolo dei residui $res(1/(1+z^2), -1)=0$ che porta quindi alla ...

Buonasera a tutti, Avrei un problema con la trasformata di Laplace del $cos(2t)$. Scompongo il $cos$ tramite le formule di Eulero e applico la definizione di trasformata di Laplace. Mentre eseguo la risoluzione degli integrali perdo qualche termine e mi risulta un integrale divergente. Non è che qualcuno mi potrebbe illustrare i passaggi per eseguire questa trasformata ? Grazie e buona serata.

Ciao a tutti, potreste controllare se il ragionamento è esatto? E' da provare che se $\int_{R^n} e^{|x - y|^2} f(y) dy = 0$, con $f \in L^1$ allora $f=0$ quasi ovunque. Questa è la mia soluzione: sembra evidente che l'operatore in esame è una convoluzione tra una funzione $f \in L^1$ e la funzione $g = e^{-|x|^2} \in L^1$. Poiché entrambe $L^1(R^n)$ è possibile scrivere la loro trasformata di Fourier e in particolare vale $\mathcal(F)(f $*$ g) = \bar f * \bar g$ (scusate non ricordo il simbolo ...

Ciao! Ho una domanda stupida sugli spazi metrici. È vero che, se \( E \) è un insieme e \( d \) e \( d^\prime \) sono due distanze equivalenti su \( E \), allora \( E \) è \( d \)-precompatto se e solo se è \( d^\prime \)-precompatto? (Con "\( d \)-precompatto" ovviamente intendo "si fa ricoprire da un numero finito di \( d \)-palle di raggio \( \epsilon > 0 \) arbitrario"). Credo che la risposta sia no e che il possibile controesempio sia astruso. Segnalo che non è vero che, se \( d \) e \( ...

Buongiorno a tutti, ho risolto il seguente problema di Cauchy ma ho dei dubbi in merito al procedimento che ho svolto : $y(t)'' + 4y(t)=0$ $y(0)=1$ $y'(0)=0 $ Ho determinato $y0= -5$ e $y1=-5tau$ con le formule delle equazioni alle differenze finite e riscrivo quindi l'equazione cercata : $y(k+2) +2y(k+1) + yk(4+ tau^2)=0$. Z-trasformo , riordino i termini e trovo 2 poli semplici, ed è qui che inizio ad avere delle perplessità: utilizzo il calcolo dei residui : ...

Buonasera a tutti, Avrei un problema con il seguente esercizio sul calcolo di integrale con metodo dei residui ( su cammini chiusi orientati positivamente) : Determinato z=0 come singolarità procedo considerando una curva chiusa che lo contiente, suppongo quindi la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine orientata positivamente. Applico quindi il calcolo degli integrali con la formulazione seguente : Dal calcolo del residuo mi risulta 0 , ...

é vero che ogni successione limitata di uno spazio di Hilbert separabile contiene una sotto successione che converge debolmente? io direi di si perché per il teorema di Banach-Alaoglu posso dire di avere una sotto successione debolmente * convergente, siccome uno spazio di Hilbert è riflessivo ho inoltre che la convergenza debole * implica la convergenza debole.

Salve a tutti, ho il seguente polinomio $ 1/(z^2-3jz-2) $ che dovrei scrivere in una serie di Laurent con $ 0<|z-j|<1 $ . Provando a scomporla mi è uscito : $ sum_( n= \0) ((z-j)/j)^n+jsum_(n = \0)(1-z+j)^n $ La mia domanda è, a questo punto come faccio a capire che questi termini rientrano nella condizione $ 0<|z-j|<1 $?

Ciao Avrei bisogno di qualche indicazione su questo esercizio, sul quale al momento so dare una soluzione parziale. Esercizio. Sia \(d \in \mathbb N\), \(\lambda \in \mathbb R\) e la serie \[\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^\lambda} e^{-k \lvert x \rvert^2} \quad\text{dove } x:= (x_1, \dots{}, x_d) \in \mathbb R^d .\] (1) Studiare, al variare di \(\lambda\), la convergenza quasi ovunque della serie in \(\mathbb R^d\). (2) Studiare anche le convergenze quasi uniformi e in misura. (3) Per quali ...