Sviluppare in serie di Taylor la seguente funzione

[Omi1]

Salve a tutti, potete confermarmi se ho sviluppato bene la serie di Taylor di punto iniziale 0, della seguente funzione in $ |z|<3 $ :

$ f(z)=(z^2-7z+3)/((z-3)^2(z+6)) $ $ =-1/(z-3)^2+1/(z+6) $

E $ 1/(z+6) $ serie geometrica di ragione $ (-z/6) $ lo sviluppo così:

$ 1/6*1/(1-(-z/6) $ $ =1/6 sum_(n = \0) (-z/6)^n $

Mentre $ -1/(z-3)^2 $ :
$ -sum_(n = \1) (n/(3^(n+1))z^(n-1)) $

Fatta bene? Grazie a tutti.

[pilloeffe]

Ciao Omi,

"Omi":Fatta bene?

Sì. Più in generale si ha:

$a^2/(z - a)^2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} n/a^{n - 1} z^{n - 1} $

per $|z/a| < 1 \iff |z| <|a| $ e quindi $ 1/a^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} n/a^{n - 1} z^{n - 1} = 1/(z - a)^2 $
Nel caso particolare $a = 3 $ dell'esercizio proposto si ha:

$ 1/(z - 3)^2 = 1/9 \sum_{n = 1}^{+\infty} n/3^{n - 1} z^{n - 1} = 1/3^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} n/3^{n - 1} z^{n - 1} = \sum_{n = 1}^{+\infty} n/3^{n + 1} z^{n - 1} = \sum_{m = 0}^{+\infty} (m + 1)/3^{m + 2} z^m $

per $|z| < 3 $
Però come hai portato dentro il $3$ nella seconda porterei dentro anche il $6$ nella prima ottenendo

$1/(z + 6) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- 1)^n /6^{n + 1} z^n $

Per cui in definitiva si ha:

$ f(z) = (z^2-7z+3)/((z-3)^2(z+6)) = 1/(z + 6) - 1/(z-3)^2 = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- 1)^n /6^{n + 1} z^n - \sum_{n = 0}^{+\infty} (n + 1)/3^{n + 2} z^n = $
$ = \sum_{n = 0}^{+\infty} [(- 1)^n /6^{n + 1} - (n + 1)/3^{n + 2}] z^n $

[Omi1]

Grazie mille Pillo.