Equazione differenziale lineare omogenea a c.c.

[cla291]

In un libro di metodi matematici per l'ingegneria si studia la seguente: $ (d^2y)/dx^2+by=0 $ $[ 1 ] $
si determina l'equazione caratteristica $ lambda^2+b=0 $ risolvendo per $ ce^(lambdax) $.
Si ricavano poi le lambda $ lambda_(1,2)=+- sqrt(-b) $ e per b negativo:
$ y_1=c_1 e^(sqrt(-b)x) $ e $ y_2=c_2 e^(-sqrt(-b)x) $

Esaminando il caso in cui b>0 il testo dice: "Se invece b>0, lambda è immaginario e la $[ 1 ] $ non può essere risolta con funzioni esponenziali. Tuttavia, ricordando la proprietà delle funzioni trigonometriche..."
Ora, io non capisco perché non si possa scrivere: $y_1=c_1 e^(isqrtbx) $ e $ y_2=c_2 e^(-isqrtbx) $
Grazie del vostro tempo.

[gugo82]

Sarebbe strano che per scrivere una soluzione che sai avere valori reali tu debba passare necessariamente per il campo complesso, no?

[cla291]

Ok, allora il "non può essere risolta" è da intendersi come il non poter esprimere le soluzioni tramite esponenziali nel campo reale. Per il resto le soluzioni con esponenziale complesso non hanno niente di sbagliato, giusto?

[pilloeffe]

Ciao cla29,

La soluzione dell'equazione differenziale lineare omogenea $("d"^2y)/("d"x^2)+by=0 $

per $b = 0 $ è banale ed è $y(x) = c_1 x + c_2 $

Per $b < 0 $ la soluzione è la somma di $y_1 $ e $y_2 $ che hai già scritto:

$y(x) = y_1 + y_2 = c_1 e^(sqrt(-b)x) + c_2 e^(-sqrt(-b)x) $

Per $b > 0 $ la soluzione è la seguente:

$y(x) = c_1 cos(sqrt{b}x) + c_2 sin(sqrt{b}x) $

Quest'ultima soluzione si può ricavare da $y(x) = C_1 e^{i sqrt{b}x} + C_2 e^{- i sqrt{b}x} $ come mostrato ad esempio qui.

[cla291]

Caro pilloeffe,

grazie del tuo tempo!

[vict85]

In ogni caso ritengo che sarebbe buona norma, se si vuole usare le soluzioni complesse per una ODE reale, di metterci intorno la funzione parte reale \(\Re\).

[cla291]

non ho ben capito, potresti darmi qualche dettaglio?

Grazie.

[vict85]

La Parte reale è una funzione che manda un numero complesso nella sua componente reale. Si può definire usando il complesso coniugato: \(\displaystyle\Re[z] = \frac{z + \overline{z}}{2}\). Quindi se tu hai una funzione complessa \(f\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C}\) allora \(\Re[f]\) è una funzione a valori nei reali. Anche se nel tuo caso, più che lavorare con \(\Re[f]\) dovresti proprio dimostrare che \(f(\mathbb{R})\subseteq \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\) (e che soddisfa la tua ODE). Insomma, di fatto puoi o dimostrare che \(f(\mathbb{R})\subseteq \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\) oppure dimostrare che \(\Re[f|_{\mathbb{R}}]\) soddisfa la ODE.

Comunque, nella soluzione complessa \(C_1, C_2\in \mathbb{C}\), quindi anche quello va considerato.

[cla291]

Ok, ho afferrato.
Grazie.

[dissonance]

Che significa c.c.?

[cla291]

coefficienti costanti

[dissonance]

Ok

[cla291]

mi hai fatto preoccupare...

[dissonance]

Preoccupare? Ma no, chiedevo solo. Probabilmente è una abbreviazione comune in ingegneria ma a me non suonava ovvia.

[gugo82]

"dissonance":Probabilmente è una abbreviazione comune in ingegneria [...]

No, non credo... Forse è comune tra i carabinieri.

[cla291]

Anche a fisica:

http://materia.dfa.unipd.it/salasnich/sdm/sdm7e2.pdf

[gugo82]

"cla29":Anche a fisica:

http://materia.dfa.unipd.it/salasnich/sdm/sdm7e2.pdf

Diverte constatare come l'ultima slide contenga un'equazione che, a norma della definizione adottata nella seconda slide, non è una EDO del secondo ordine...