Derivabilità e continuità

[TS778LB]

Se $ f(x) $ è derivabile in un punto $ x_0 $ allora è continua in $ x_0 $. Se $ x\nex_0 $ allora
$ f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0) $ e passando al limite per $ x->x_0 $ si dimostra l’asserto. Rispetto a questa dimostrazione del libro quella che ho sugli appunti si presenta in quest’altra forma: $ |f(x)-f(x_0)|=|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}||(x-x_0)| $
Perché si introduce il valore assoluto? E poi, $ |\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}| ->|f’(x_0)| $ per $ x->x_0 $ ?

[dissonance]

Alla fine tu devi dimostrare che \(f(x)-f(x_0)\to 0\). Questo è equivalente a \(\lvert f(x)-f(x_0)\rvert\to 0\). In generale, se puoi ridurti a studiare quantità positive, è sempre meglio farlo, perché è più semplice.

Quanto all'ultima domanda, rispondo con una domanda; la funzione \(u\mapsto \lvert u\rvert\) è continua?

[TS778LB]

Si la funzione $|u|$ è continua!

[marco2132k]

"TS778LB":Perché si introduce il valore assoluto?

Credo la ragione sia che in contesti più generali si fa così. (Così=con la norma)

[TS778LB]

"TS778LB":$ |\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}| ->|f’(x_0)| $ per $ x->x_0 $ ?

Non sono ancora riuscito a verificare questa cosa. Ho fatto un esempio per chiarire le idee:
$ f(x)=x $
Valutando il rapporto incrementale tra $ x_0=3 $ e $ x=5 $,
$ \frac{5-3}{5-3}=1 $
che tende a 1 per x che tende a 3
Valutando il rapporto incrementale tra $ x_0=3$ e $ x=-5 $,
$ \frac{-5-3}{-5-3}=1 $
che tende a 1 per x che tende a 3
Quindi mi verrebbe da pensare che
$ |\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}| ->f’(x_0)$ per $ x->x_0 $

[dissonance]

Non è un buon esempio.

Prendi $f(x)=x^2$, invece. Considera prima il caso di $x_0=1$ e poi $x_0=-1$. In entrambi i casi, prendi delle $x$ vicine a $x_0$, per esempio prendi $x=1.01$, poi $x=1.001$ nel primo caso, e poi $x=-1.01$ e $x=-1.001$ nel secondo. Vedi un po' cosa succede.98

(il 98 è stato scritto dal gatto Casimiro che ha deciso di sedersi sulla mia tastiera)