Integrale doppio con valore assoluto
Buonasera a tutti,
vi chiedo aiuto per la risoluzione di questo integrale doppio con valore assoluto.
$ int_(D) |y-x| dx dy $
$ D={(x,y)inmathbb(R)^2|-1<=x<=1, x^2<=y<=1 } $
Il dominio, se non erro, è una parabola con vertice nell'origine del sistema cartesiano e limitato superiormente dalla retta $ y=1 $.
Essendo il dominio simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, calcoliamo il valore dell'integrale nel primo quadrante, e moltiplichiamo per due.
Gli estremi di integrazione dovrebbero essere:
- $ 0<= x<= 1 $
- mentre per quanto riguarda la y, suddividendo il dominio in due porzioni, abbiamo la porzione tra la parabola e la bisettrice del primo quadrante, quindi $ x^2<= y<= x $ , e la porzione tra la bisettrice e il limite superiore $ y=1 $ , quindi $ x<=y<=1 $ .
Quindi seguendo questo procedimento e considerando il valore assoluto, l'integrale da risolvere diventa:
$ 2int_(0)^(1) [int_(x^2)^(x) (x-y) dy + int_(x)^(1) (y-x) dy] dx $
Risolvendolo però, il risultato non coincide con quello fornito dal testo. Secondo voi dove sbaglio?
Grazie in anticipo a tutti
vi chiedo aiuto per la risoluzione di questo integrale doppio con valore assoluto.
$ int_(D) |y-x| dx dy $
$ D={(x,y)inmathbb(R)^2|-1<=x<=1, x^2<=y<=1 } $
Il dominio, se non erro, è una parabola con vertice nell'origine del sistema cartesiano e limitato superiormente dalla retta $ y=1 $.
Essendo il dominio simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, calcoliamo il valore dell'integrale nel primo quadrante, e moltiplichiamo per due.
Gli estremi di integrazione dovrebbero essere:
- $ 0<= x<= 1 $
- mentre per quanto riguarda la y, suddividendo il dominio in due porzioni, abbiamo la porzione tra la parabola e la bisettrice del primo quadrante, quindi $ x^2<= y<= x $ , e la porzione tra la bisettrice e il limite superiore $ y=1 $ , quindi $ x<=y<=1 $ .
Quindi seguendo questo procedimento e considerando il valore assoluto, l'integrale da risolvere diventa:
$ 2int_(0)^(1) [int_(x^2)^(x) (x-y) dy + int_(x)^(1) (y-x) dy] dx $
Risolvendolo però, il risultato non coincide con quello fornito dal testo. Secondo voi dove sbaglio?
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
"angelointi94":
Gli estremi di integrazione dovrebbero essere:
- $ 0<= x<= 1 $
Come mai?
"ghira":
[quote="angelointi94"]
Gli estremi di integrazione dovrebbero essere:
- $ 0<= x<= 1 $
Come mai?[/quote]
Forse è proprio questo l'errore?
"angelointi94":
Essendo il dominio simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, calcoliamo il valore dell'integrale nel primo quadrante, e moltiplichiamo per due.
Questo è falso. Nonostante l'insieme di integrazione sia pari in $x$, la funzione integranda non è pari in $x$; quindi non è vero che l'integrale è il doppio dell'integrale ottenuto dimezzando l'ampiezza dell'intervallo in cui varia $x$.
Per convincertene, pensa in una variabile: $\int_{-1}^1 \cos x \text{d}x=2 \int_0^1 \cos x \text{d}x$ solo perché $\cos$ è una funzione pari. Infatti, se pensi, ad esempio, a $\int_{-1}^1 e^x \text{d}x$, ciò non vale più (perché anche il grafico della funzione deve essere simmetrico rispetto all'asse $y$, non solo l'insieme di integrazione).
P.S.: Potresti modificare il messaggio scrivendo il testo dell'esercizio? Le foto si perdono col tempo e il post diventerà inutile in futuro. Grazie!
"Mephlip":
[quote="angelointi94"]
Essendo il dominio simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, calcoliamo il valore dell'integrale nel primo quadrante, e moltiplichiamo per due.
Questo è falso. Nonostante l'insieme di integrazione sia pari in $x$, la funzione integranda non è pari in $x$; quindi non è vero che l'integrale è il doppio dell'integrale ottenuto dimezzando l'ampiezza dell'intervallo in cui varia $x$.
Per convincertene, pensa in una variabile: $\int_{-1}^1 \cos x \text{d}x=2 \int_0^1 \cos x \text{d}x$ solo perché $\cos$ è una funzione pari. Infatti, se pensi, ad esempio, a $\int_{-1}^1 e^x \text{d}x$, ciò non vale più (perché anche il grafico della funzione deve essere simmetrico rispetto all'asse $y$, non solo l'insieme di integrazione).
P.S.: Potresti modificare il messaggio scrivendo il testo dell'esercizio? Le foto si perdono col tempo e il post diventerà inutile in futuro. Grazie![/quote]
Adesso sono fuori, appena torno a casa scrivo l'integrale al posto della foto.
Tornando all'esercizio, quindi, come andrebbe risolto? Mi serve una dritta perché ci sto sbattendo la testa da diversi giorni.
Ciao angelointi94,
Beh, fai un bel disegno della situazione, tenendo presente che si ha:
$|y - x| := {(y - x \text{ se } y \ge x),(x - y \text{ se } y < x):} $
Ora $y = x $ è la bisettrice del primo e del terzo quadrante e sopra di essa la funzione integranda diventa $y - x $, cosa senz'altro vera per $- 1 \le x < 0 $ ove $x^2 <= y <= 1 $;
per $0 \le x \le 1 $ invece ci sono tutte e due, sia la parte sopra la retta $y = x$ ove $ x \le y \le 1 $, sia la parte sotto la retta $y = x$ ove $x^2 <= y < x $: in quest'ultimo caso la funzione integranda diventa $x - y$
"angelointi94":
Tornando all'esercizio, quindi, come andrebbe risolto? Mi serve una dritta perché ci sto sbattendo la testa da diversi giorni.
Beh, fai un bel disegno della situazione, tenendo presente che si ha:
$|y - x| := {(y - x \text{ se } y \ge x),(x - y \text{ se } y < x):} $
Ora $y = x $ è la bisettrice del primo e del terzo quadrante e sopra di essa la funzione integranda diventa $y - x $, cosa senz'altro vera per $- 1 \le x < 0 $ ove $x^2 <= y <= 1 $;
per $0 \le x \le 1 $ invece ci sono tutte e due, sia la parte sopra la retta $y = x$ ove $ x \le y \le 1 $, sia la parte sotto la retta $y = x$ ove $x^2 <= y < x $: in quest'ultimo caso la funzione integranda diventa $x - y$
"pilloeffe":
Ciao angelointi94,
[quote="angelointi94"]Tornando all'esercizio, quindi, come andrebbe risolto? Mi serve una dritta perché ci sto sbattendo la testa da diversi giorni.
Beh, fai un bel disegno della situazione, tenendo presente che si ha:
$|y - x| := {(y - x \text{ se } y \ge x),(x - y \text{ se } y < x):} $
Ora $y = x $ è la bisettrice del primo e del terzo quadrante e sopra di essa la funzione integranda diventa $y - x $, cosa senz'altro vera per $- 1 \le x < 0 $ ove $x^2 <= y <= 1 $;
per $0 \le x \le 1 $ invece ci sono tutte e due, sia la parte sopra la retta $y = x$ ove $ x \le y \le 1 $, sia la parte sotto la retta $y = x$ ove $x^2 <= y < x $: in quest'ultimo caso la funzione integranda diventa $x - y$[/quote]
Ok chiarissimo.
Quindi l'integrale da risolvere diventa questo:
$ int_(-1)^(0) (int_(x^2)^(1) (y-x) dy ) dx +int_(0)^(1) (int_(x^2)^(x) (x-y) dy +int_(x)^(1) (y-x) dy) dx $
Giusto?
Sì. Facendo i conti mi risulta proprio che si ha:
$\int_D |y-x| "d"x "d"y = $
$ = \int_{- 1}^0 (int_{x^2}^1 (y-x) "d"y) "d"x + \int_0^1 (\int_{x^2}^x (x-y) "d"y + \int_x^1 (y-x) "d"y) "d"x = $
$ = 13/20 + 1/60 + 1/6 = 5/6 $
$\int_D |y-x| "d"x "d"y = $
$ = \int_{- 1}^0 (int_{x^2}^1 (y-x) "d"y) "d"x + \int_0^1 (\int_{x^2}^x (x-y) "d"y + \int_x^1 (y-x) "d"y) "d"x = $
$ = 13/20 + 1/60 + 1/6 = 5/6 $
"pilloeffe":
Sì. Facendo i conti mi risulta proprio che si ha:
$\int_D |y-x| "d"x "d"y = $
$ = \int_{- 1}^0 (int_{x^2}^1 (y-x) "d"y) "d"x + \int_0^1 (\int_{x^2}^x (x-y) "d"y + \int_x^1 (y-x) "d"y) "d"x = $
$ = 13/20 + 1/60 + 1/6 = 5/6 $
Esattamente ho fatto i calcoli anche io e vengono come i tuoi, ed il risultato è corretto
Grazie mille per l'aiuto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo