Funzione inversa in una dimostrazione
buona sera, ho un dubbio sul un passaggio di un esercizio:
sia $f(x,y)=(xcos(y),xsin(y))=(x',y')$
$h(x,y)=(x/(2pi))*e^(-x^2/2)$
sia poi data la formula $g(x',y')= |det(Df^(-1)(x',y'))|*h(f^(-1)(x',y'))$
ora calcolando $|det(Df^(-1)(x',y'))|$ trovo $1/|x'|$, mentre ciò che non mi torna è il seguente passaggio:
perchè $h(f^(-1)(x',y'))=((x')/(2pi))*e^(-((x' )^2 + (y' )^2)/2)$ ?
non mi sono chiari 2 passaggi:
1) come trova $f^(-1)(x',y')$ ?
2) dall'espressione di $h(x,y)=(x/(2pi))*e^(-x^2/2)$ perchè sostituisce a $x$ $x'$ mentre all'argomento dell'esponenziale mette al posto di $x^2$ $(x' )^2 + (y' )^2$ ?
grazie
sia $f(x,y)=(xcos(y),xsin(y))=(x',y')$
$h(x,y)=(x/(2pi))*e^(-x^2/2)$
sia poi data la formula $g(x',y')= |det(Df^(-1)(x',y'))|*h(f^(-1)(x',y'))$
ora calcolando $|det(Df^(-1)(x',y'))|$ trovo $1/|x'|$, mentre ciò che non mi torna è il seguente passaggio:
perchè $h(f^(-1)(x',y'))=((x')/(2pi))*e^(-((x' )^2 + (y' )^2)/2)$ ?
non mi sono chiari 2 passaggi:
1) come trova $f^(-1)(x',y')$ ?
2) dall'espressione di $h(x,y)=(x/(2pi))*e^(-x^2/2)$ perchè sostituisce a $x$ $x'$ mentre all'argomento dell'esponenziale mette al posto di $x^2$ $(x' )^2 + (y' )^2$ ?
grazie
Risposte
Ciao Aletzunny,
Beh, se $ (xcos(y),xsin(y))=(x',y') $ allora si ha:
$ (x' )^2 + (y' )^2 = (x cos(y))^2 + (x sin(y))^2 = x^2 cos^2(y) + x^2 sin^2(y) = x^2 (cos^2(y) + sin^2(y)) = x^2 $
Beh, se $ (xcos(y),xsin(y))=(x',y') $ allora si ha:
$ (x' )^2 + (y' )^2 = (x cos(y))^2 + (x sin(y))^2 = x^2 cos^2(y) + x^2 sin^2(y) = x^2 (cos^2(y) + sin^2(y)) = x^2 $
"pilloeffe":
Ciao Aletzunny,
Beh, se $ (xcos(y),xsin(y))=(x',y') $ allora si ha:
$ (x' )^2 + (y' )^2 = (x cos(y))^2 + (x sin(y))^2 = x^2 cos^2(y) + x^2 sin^2(y) = x^2 (cos^2(y) + sin^2(y)) = x^2 $
Si questo passaggio l'ho capito matematicamente ma non capisco a cosa mi porti...
È direttamente già l'inversa?
E perché da una parte invece, davanti all'esponenziale, mette solo $x'$?
Grazie
Non riesco a capire fino a che punto sono calcoli tuoi e quali sono invece i risultati effettivi...
Tuttavia ti invito ad operare un cambiamento di variabili che dovrebbe renderti la faccenda un po' più familiare. Ti scrivo sopra quello che hai scritto e di seguito la stessa cosa con le variabili rinominate:
$ f(\rho, \theta) = (\rho cos(\theta), \rho sin(\theta)) = (x, y) $
$h(\rho, \theta) = (\rho/(2\pi)) e^(-\rho^2/2) $
In effetti poi $h = h(\rho) $, dato che la variabile $\theta $ non compare nella sua espressione: $(del h)/(del \theta) = 0 $
Tuttavia ti invito ad operare un cambiamento di variabili che dovrebbe renderti la faccenda un po' più familiare. Ti scrivo sopra quello che hai scritto e di seguito la stessa cosa con le variabili rinominate:
"Aletzunny":
$ f(x,y) = (xcos(y),xsin(y)) = (x',y') $
$ f(\rho, \theta) = (\rho cos(\theta), \rho sin(\theta)) = (x, y) $
"Aletzunny":
$ h(x,y) = (x/(2\pi)) e^(-x^2/2) $
$h(\rho, \theta) = (\rho/(2\pi)) e^(-\rho^2/2) $
In effetti poi $h = h(\rho) $, dato che la variabile $\theta $ non compare nella sua espressione: $(del h)/(del \theta) = 0 $
I calcoli sono tutti copiati pedissequamente dal mio docente ma non mi tornano:
Ho capito che sostituisce direttamente $x^2+y^2$ perché ottengo poi $rho^2$;
Ma il determinante qui verrebbe $1/|rho|$ mentre $h$ non sarebbe valuta in $f^(-1)(rho, theta)$?
Sostanzialmente non capisco perché si semplifichi!
Grazie
Ho capito che sostituisce direttamente $x^2+y^2$ perché ottengo poi $rho^2$;
Ma il determinante qui verrebbe $1/|rho|$ mentre $h$ non sarebbe valuta in $f^(-1)(rho, theta)$?
Sostanzialmente non capisco perché si semplifichi!
Grazie
"Aletzunny":
Ma il determinante qui verrebbe $1/|\rho|$
Sicuro? Qual è il modulo del determinante della matrice jacobiana per una trasformazione in coordinate polari?
Il modulo del determinante di $f^(-1)(rho, theta)$ non è $1/rho$?
Non mi risulta...
Per le coordinate polari nel piano mi risulta invece $ |det(J)| = \rho $
Per le coordinate polari nel piano mi risulta invece $ |det(J)| = \rho $
Appunto: se il determinante delle derivate di $f(rho,theta)=rho$ il determinante delle derivate di $f^(-1)(rho,theha)=1/rho$.
Sono abbastanza sicuro
Sono abbastanza sicuro
Il mio dubbi l'ho espresso abbastanza chiaramente nel punto 2) del post iniziale
"Aletzunny":
Sono abbastanza sicuro
No, non ci sei: quell'$f^{- 1} $ non significa che devi fare l'inversa di $\rho $, cioè $\rho^-1 = 1/\rho $, ma si riferisce all'inversa in $D$, dove $D$ è il dominio delle $(x,y) $ con le variabili rinominate, mentre $D' = f^{- 1}(D) $ è il dominio delle $(\rho, theta) $ (sempre con le variabili rinominate). In forma più estesa talvolta si scrive:
$ |det(J_{f^{- 1}(D)})| = \rho $
Con le notazioni scritte nell'OP (sempre con le variabili rinominate, cioè con $x$ al posto di $x'$ e con $y$ al posto di $y'$):
$ |det(Df^(-1)(x,y))| = \rho $
dove con $D$ in quest'ultima relazione ci si riferisce alle derivate.
"pilloeffe":
[quote="Aletzunny"]Sono abbastanza sicuro
No, non ci sei: quell'$f^{- 1} $ non significa che devi fare l'inversa di $\rho $, cioè $\rho^-1 = 1/\rho $, ma si riferisce all'inversa in $D$, dove $D$ è il dominio delle $(x,y) $ con le variabili rinominate, mentre $D' = f^{- 1}(D) $ è il dominio delle $(\rho, theta) $ (sempre con le variabili rinominate). In forma più estesa talvolta si scrive:
$ |det(J_{f^{- 1}(D)})| = \rho $
Con le notazioni scritte nell'OP (sempre con le variabili rinominate, cioè con $x$ al posto di $x'$ e con $y$ al posto di $y'$):
$ |det(Df^(-1)(x,y))| = \rho $
dove con $D$ in quest'ultima relazione ci si riferisce alle derivate.[/quote]
$Df(x,y)=[[cosy,-xsiny],[siny,xcosy]]$ e questa matrice ha determinante $x$.
A lezione immediatamente abbiamo fatto che $det(Df^(-1)(x,y))=1/x$, dove forse la notazione non è delle migliori...ma $D$ indica la derivate.
quindi è come se abbiamo il determinante di $A$ matrice e calcoliamo quello di $A^(-1)$. dove mi sono perso? mi pareva la parte più chiara della risoluzione fatta dal docente.
a me quello che non torna e non riesco a capire è questo: assumendo il determinante uguale a $1/x'$, perchè poi esso viene semplificato con la $x'$ dell'espressione di $h$? $h$ non sarebbe valutata in $f^(-1)$?
A questo punto ammetto che non mi è chiaro cosa intenda il tuo professore con la scrittura
$ |det(Df^(-1)(x',y'))| \cdot h(f^(-1)(x',y')) $
che con le variabili rinominate (coordinate polari) andrebbe riscritta così:
$ |det(Df^(-1)(x,y))| \cdot h(f^(-1)(x,y)) $
Però se tu hai capito e sei certo che $ |det(Df^(-1)(x,y))| = 1/\rho $, allora dato che (sempre con le coordinate polari) sarebbe $ h(\rho, \theta) = h(\rho) = (\rho/(2\pi)) e^{-\rho^2/2} $, si avrebbe
$ |det(Df^(-1)(x,y))| \cdot h(f^(-1)(x,y)) = 1/\rho \cdot (\rho/(2\pi)) e^{-\rho^2/2} = 1/(2\pi) e^{-\rho^2/2} $
$ |det(Df^(-1)(x',y'))| \cdot h(f^(-1)(x',y')) $
che con le variabili rinominate (coordinate polari) andrebbe riscritta così:
$ |det(Df^(-1)(x,y))| \cdot h(f^(-1)(x,y)) $
Però se tu hai capito e sei certo che $ |det(Df^(-1)(x,y))| = 1/\rho $, allora dato che (sempre con le coordinate polari) sarebbe $ h(\rho, \theta) = h(\rho) = (\rho/(2\pi)) e^{-\rho^2/2} $, si avrebbe
$ |det(Df^(-1)(x,y))| \cdot h(f^(-1)(x,y)) = 1/\rho \cdot (\rho/(2\pi)) e^{-\rho^2/2} = 1/(2\pi) e^{-\rho^2/2} $
Esatto, la formula finale che ottiene è proprio quella e sono certo che i calcoli siano copiati esattamente.
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