Funzioni definite/semidefinite positive e negative

[mirko.saggioro]

Buongiorno a tutti volevo sapere se esiste un metodo veloce per capire se una funzione è definite/semidefinite positive o negativa. Ad esempio in questo caso:
$ x_1^2+x_2^2$ so che è definita positiva perché è un paraboloide, ma per esempio questa funzione:
$ -4(x_1-x_2)^4 $ il nostro professore ha detto subito che è semidefinta negativa senza spiegare il ragionamento, quindi in questo caso ad esempio come facciamo a determinarlo?

[ghira1]

"ilsaggio":
$ -4(x_1-x_2)^4 $ il nostro professore ha detto subito che è semidefinta negativa senza spiegare il ragionamento, quindi in questo caso ad esempio come facciamo a determinarlo?

Può essere 0 senza che $x_1$ e $x_2$ siano 0?

$-x^4$ può essere maggiore di 0?

[mirko.saggioro]

"ghira":Può essere 0 senza che x1 e x2 siano 0?

Quindi se la funzione totale è 0 solamente se $x_1 $ e $x_2$ sono entrambi 0, allora è $"Definita"$ positiva/negativa, se invece può essere 0 anche per altri valori, nel nostro caso quando $x_1=x_2$, allora è $"Semidefinita"$ positiva/negativa. Giusto?

[ghira1]

"ilsaggio":
Quindi se la funzione totale è 0 solamente se $x_1 $ e $x_2$ sono entrambi 0, allora è $"Definita"$ positiva/negativa, se invece può essere 0 anche per altri valori, nel nostro caso quando $x_1=x_2$, allora è $"Semidefinita"$ positiva/negativa. Giusto?

Un attimo che leggo https://en.wikipedia.org/wiki/Definite_quadratic_form ...

Direi di sì.

[mirko.saggioro]

Simpatico

[dissonance]

Ma cosa significa che una funzione è "definita positiva"? Se parli di una forma quadratica, allora è una terminologia standard. Ma la tua seconda funzione non è una forma quadratica.

[feddy]

@dissonance In realtà c'è una definizione: https://en.wikipedia.org/wiki/Positive- ... e_function (l'ho vista solo per problemi di interpolazione multidimensionale), ma per funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{C}$, che quindi OP non può usare.

[dissonance]

@feddy: Si, ma non credo proprio sia quella la definizione usata. Proprio per questo motivo chiedevo, ma l'OP sembra sparito. Non è un problema di dominio, si può parlare di funzione definita positiva per funzioni definite su \(\mathbb R^n\), la definizione di Wikipedia si estende pari pari.