Errori del Principio di induzione
Salve. Prima di descrivere il problema faccio una veloce premessa: sono un nuovo studente iscritto all'università di matematica ed a questo forum. Ammetto di avere grandi difficoltà nello svolgimento di alcuni esercizi e uno scorretto uso del formalismo matematico. Mi scuso con tutti i matematici che saranno turbati da alcune mie affermazioni sbagliate e per certi casi inguardabili e improponibili. Grazie per il vostro aiuto e per la vostra pazienza.
L'esercizio è basato su un uso scorretto del principio di induzione, invitando così il lettore a trovare l'errore. Il testo è il seguente:
Se $a$ e $b$ sono numeri interi positivi diversi, definiamo come max $(a,b)$ il più grande dei due numeri $a,b$: se $a=b$ poniamo max $(a,b)=a=b$.
Sia ora $A_n$ la proposizione "se $a$ e $b$ sono due numeri interi positivi tali che max $(a, b)=n$, allora $a=b$".
Supponiamo che $A_r$ sia valida. Siano $a$ e $b$ due numeri interi positivi, tali che max $(a,b) = r + 1$. Consideriamo i due numeri interi:
\begin{equation}\nonumber
\alpha=a-1\\
\beta=b-1
\end{equation}
allora max$(\alpha, \beta) = r$. Da cui $\alpha = \beta$ poiché abbiamo supposto valida $A_r$. Ne segue che $a=b$; quindi $A_(r+1)$ è vera per ogni n.
La dimostrazione per $A_1$ è vera, poiché se max$(a,b)=1$, essendo a e b per ipotesi numeri interi positivi, devono essere entrambi uguali a 1. Perciò, per il principio di induzione, $A_n$ è vera per ogni $n$.
La mia soluzione:
Nel passaggio dell'implicazione, sto dicendo che il max tra $(a-1, b-1) = n$. Perciò trovo subito una contraddizione. Infatti se riscrivo l'implicazione attraverso le variabili $a$ e $b$ ottengo:
\begin{equation}\nonumber
(a,b) = n \Rightarrow (a-1, b-1) = n \qquad (Contraddizone)
\end{equation}
Dimostrare questa implicazione vorrebbe dire che $a=a-1$ e $b=b-1$.
Vorrei sapere se la mia soluzione fosse corretta o meno.
Grazie mille per il vostro aiuto.
L'esercizio è basato su un uso scorretto del principio di induzione, invitando così il lettore a trovare l'errore. Il testo è il seguente:
Se $a$ e $b$ sono numeri interi positivi diversi, definiamo come max $(a,b)$ il più grande dei due numeri $a,b$: se $a=b$ poniamo max $(a,b)=a=b$.
Sia ora $A_n$ la proposizione "se $a$ e $b$ sono due numeri interi positivi tali che max $(a, b)=n$, allora $a=b$".
Supponiamo che $A_r$ sia valida. Siano $a$ e $b$ due numeri interi positivi, tali che max $(a,b) = r + 1$. Consideriamo i due numeri interi:
\begin{equation}\nonumber
\alpha=a-1\\
\beta=b-1
\end{equation}
allora max$(\alpha, \beta) = r$. Da cui $\alpha = \beta$ poiché abbiamo supposto valida $A_r$. Ne segue che $a=b$; quindi $A_(r+1)$ è vera per ogni n.
La dimostrazione per $A_1$ è vera, poiché se max$(a,b)=1$, essendo a e b per ipotesi numeri interi positivi, devono essere entrambi uguali a 1. Perciò, per il principio di induzione, $A_n$ è vera per ogni $n$.
La mia soluzione:
Nel passaggio dell'implicazione, sto dicendo che il max tra $(a-1, b-1) = n$. Perciò trovo subito una contraddizione. Infatti se riscrivo l'implicazione attraverso le variabili $a$ e $b$ ottengo:
\begin{equation}\nonumber
(a,b) = n \Rightarrow (a-1, b-1) = n \qquad (Contraddizone)
\end{equation}
Dimostrare questa implicazione vorrebbe dire che $a=a-1$ e $b=b-1$.
Vorrei sapere se la mia soluzione fosse corretta o meno.
Grazie mille per il vostro aiuto.
Risposte
Come al solito in questi casi, sembra che il passo induttivo funzioni sempre, ma non è così.
Cosa succede se $max \{ a,b\} = 2$?
Il passo funziona?
Cosa succede se $max \{ a,b\} = 2$?
Il passo funziona?
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