Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Si tratta di un'equazione in cui manca la funzione: $ y''-y'=cosx $
Ho trovato l'integrale dell'omogeneo associato, cioè $ C1+C2*e^x $
Adesso per l'integrale particolare, essendo 0 una soluzione dell'omogenea io ho risolto un polinomio di tipo
$ x^h*e^(0x)(acosx+bsenx)= x(acosx+bsenx) $
Dopo aver risolto le incognite, noto che mi trovo un termine x che non si annulla e in più, vedendo il risultato del libro, noto che non mette il termine $ x^h $ nell'equazione particolare. Come mai? Quando manca ...
Ciao,
ho paio di domande sui seguenti esercizi:
N°1:
Prima di scrivere tutto il procedimento vi chiedo: è possibile ottenere come soluzione $x(t)= -tln(-log(t)+e^2-ln(-1))$ con dominio $t \in ]-\infty,0[$? Cioè è possibile che nella soluzione si abbia $ln(-1)$? Non ha solo soluzione immaginaria?
N°2:
Arrivo alla fase finale in cui mi trovo: $x(t)e^{\frac{2}{t}}=-\frac{1}{2}e^{\frac{2}{t}}+c$.
Ora come faccio a ricavare $c$ sapendo che $\lim_{t \rightarrow 0} x(t) = -\frac{1}{2}$ ?
Mi trovo infatti ad avere:
$-\frac{1}{2}= \frac{-\frac{1}{2}e^{\frac{2}{t}}+c}{e^-\frac{2}{t}}$ cioè ...
Ciao vorrei chiedervi conferme e eventuali correzioni alle risposte che ho dato nei seguenti esercizi. Ve di seguito perchè sono piuttosto veloci e non imbratto l'elenco degli argomenti.
N°1:
RISPOSTA: a
N°2:
RISPOSTA: b
N°3:
RISPOSTA: d
N°4:
RISPOSTA: ...
Grazie!!
Non riesco a risolvere il seguente problema di Cauchy, nonostante la sua forma "stranamente complicata" lasci pensare a un modo rapidissimo di risolverlo:
$ { (y' + (1+2t)cos^2(t+t^2)y = (1+2t)cos(t+t^2)(1 + 1/2sin(2t+2t^2))),(y(0)=0):} $
Noto che:
- il fattore $ 1+2t $ è la derivata prima di $ t + t^2 $
- il termine $ 1/2sin(2t+2t^2) $ non è altro, secondo le formule di duplicazione, che $ cos(t+t^2)sin(t+t^2) $
Non riesco comunque a procedere. Nella fattispecie, risolvendola secondo il solito metodo, ...
Ciao a tutti, devo svolgere queste esercizio trovato in rete:
\(\displaystyle \int_{\gamma} \frac{z^{2}RE(z)}{z+2} dz \)
Dove \(\displaystyle \gamma \) è la circonferenza di centro 1e raggio 4 percorsa in senso antiorario.
Scrivo il mio svolgimento:
\(\displaystyle RE(z) = \frac{z+\overline{z}}{2} \)
Andando a sostituire e a simplificare ottengo:
\(\displaystyle \frac{z^{3}}{z+2} \)
La curva la parametrizzo in questo modo:
\(\displaystyle \begin{cases} x(t) = 1+4\cos(t) \\ y(t) = ...
ciao a tutti,
come da titolo, mi si chiede di calcolare tale potenziale nei punti della retta condotta per il centro del disco perpendicolarmente al piano xy su cui "vive" il disco. Mi chiedo: come mai tale potenziale è definito come:
$ ∫∫ σ/(x^2+y^2+z^2)^(1/2) dxdy $
integrale doppio su dominio $ D $, ossia il disco? grazie
Siccome puntualmente non ho sono fornite le soluzioni agli esercizi verrei chiedere con voi se condividete le risposte che ho dato ai seguenti esercizi:
N°1:
Risposta b perchè utilizzando le coordinate polari ottengo che $\rho = \frac{sqrt{2}}{sqrt{\pi k}}$ con $k \in {0,1,....,+\infty}$; il disegno quindi corrisponde a tante circonferenze concentriche una delle quali ha raggio infinito (ed è esclusa l'origine degli assi). Quindi $A$ dovrebbe essere chiuso prechè $Fr(A) \subseteq A$ anzi $Fr(A)=A$, ...
Salve, sono alle prese con l'esame di analisi funzionale e ho un paio di dubbi che mi piacerebbe chiarire.
1) Risolto (many thanks to gugo82) Dati due spazi normati X,Y, dato un operatore T:X->Y lineare, come definisco l'immagine attraverso T di un punto di X se T non è continuo? Mi spiego meglio con un esempio.
Per dimostrare che un operatore lineare su uno spazio normato di dimensione finita è continuo, si dà la seguente dimostrazione (mi si consenta di postarla con un'immagine per ...
Ciao a tutti ... ho questa serie dove devo dichiarare che sia assolutamente convergente , convergente o divergente. La serie è $\sum_{n=1}^(infty)(-1)^(n-1)1/{(n)-log(n)}$
Salve, ho un problema con gli integrali in cui compaiono massimi o minimi, in cui cioè bisogna fare entrambi i casi. Purtroppo non dispongo di esercizi risolti dal prof (sul suo libro non ce ne sono di questo tipo, ma all'esame li mette) ma solo da altri studenti.
Provo a riportare un esempio di soluzione a disposizione e mie perplessità in merito.
$A=0<=z<=3, (x^2+9y^2)<=max{1;z^2}$
Calcolare L3(A) (la misura di Lebesgue)
Caso 1 ($max{1;z^2}=1$)
$0<=z<=3, (x^2+9y^2)<=1$
Ho un cilindro quindi uso le ...
Ciao a tutti,
chi mi aiuta con lo svolgimento di questo esercizio?
Usando il criterio integrale, stabilire il carattere della serie $ sum_(k=1)^(+\infty) k^(-1/2) $ e dare una stima asintotica della velocità di approssimazione della relativa somma
Questo il mio svolgimento, chiedo scusa in anticipo per eventuali castronerie
La serie diverge, quindi devo stimare la somme parziali.
Utilizzando un grafico qualitativo della funzione, stimo che $ int_(1)^(n+1) x^(-1/2) dx <= sum_(k=1)^(n) k^(-1/2) <= int_(0)^(n) x^(-1/2) dx $
Calcolando poi i 2 integrali trovo che ...
Nel seguente esercizio:
Affinché il campo vettoriale $F$ sia esatto è necessario che $b=3tan(x_1-3x_2)$.
Scelgo i cammini:
$\alpha(t)=(t,0)$ con $t \in [0,\pi]$
e
$\beta(t)=(\pi,t)$ con $t \in [0,\pi]$
Quindi $\alpha'(t)=(1,0)$ e $\beta'(t)=(0,1)$.
Vado dunque a calcolare:
$U(\pi,\pi) = U(0,0) + \int_0^\pi (cos(t),3tg(t)sin(t))*(1,0) dt +\int_0^\pi (cos(\pi-3t),3tg(\pi-3t)sin(\pi-3t))*(0,1) dt$
1)$U(0,0)=0$
2)$\int_0^\pi (cos(t),3tg(t)sin(t))*(1,0) dt = 0 $
3)$\int_0^\pi (cos(\pi-3t),3tg(\pi-3t)sin(\pi-3t))*(0,1) dt = \int_0^\pi tg(x)sin(x) dx$ se pongo $\pi-3t=x$
Quanto vale $\int_0^\pi tg(x)sin(x) dx$? Come si svolge? Fino a qui vi sembra corretto il ...
Ciao a tutti!
Sono uno studente di ingegneria aerospaziale e quest'oggi ho deciso di iscrivermi a questo forum per aver la possibilità attiva di scrivervi ed esporvi domande domande. Più volte in passato sbirciando qua e là tra i vari topic sono riuscito a risolvere problemi. In particolare vorrei chiedere un vostro consiglio per la ricerca di un eserciziario. Quello di cui ho bisogno sono esercizi su equazioni differenziali(più problema di Cauchy) , integrali multipli, potenziali di campi ...
Ecco il testo dell'esercizio:
Sia \(\displaystyle \Omega \) un insieme L-misurabile di misura finita \(\displaystyle \mu(\Omega)
Ciao a tutti, chiedo lumi riguardo a un esempio sull'uniforme continuità tratto dal Salsa-Pagani, p. 232 (ed. 1997).
Il concetto di uniforme continuità mi pare chiaro; nel libro viene anticipato da due esempi:
Primo esempio:
$f(x) = x^2$ considerata nell'intervallo (0,1)
Secondo esempio:
$g(x) = 1/x$ considerata ancora nell'intervallo (0,1)
Primo esempio:
Affinché $f(x)$ sia continua, deve essere $ lim_(x -> x_0) f(x) = f(x_0) $. Per la definizione di limite, deve essere quindi ...
Ciao a tutti! Non riesco a risolvere questa equazione
$ y''+(y')^2-py=0 $
Dovrei determinare il parametro $ p in R $ per il quale l'equazione ammette almeno una soluzione polinomiale monica di secondo grado ( $ y(x)=x^2+bx+c $ con b e c reali).
Ho provato a sostituire $ y'=t(y) $ diventando così $ t*t'+t^2-py=0 $
ma ora come integro? Se mi spiegate ne sarei molto grata Grazie a chi mi aiuta!
ciao a tutti ho alcuni dubbi su questo esercizio:
Si calcoli \( \int_{\gamma} \overrightarrow{F}\, d\overrightarrow{r} \) , con \(\gamma = \gamma_1 \cup \gamma_2 \) dove \(\gamma_1 \) è la circonferenza \( \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2=1, z=1\} \) percorsa in senso antiorario se vista dall'alto e \(\gamma_2\) è la circonferenza \( \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2=4, z=2\} \) percorsa in senso orario se vista dall'alto. Dove \(\overrightarrow{F} : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times ...
Salve a tutti
Devo studiare la convergenza di questo integrale
\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} \end{align}
Noto che devo studiare in particolare cosa succede nell'intorno di \(\displaystyle x = 1, 2, +\infty; \)
Allora suddivido l'integrale in 5 (ahimè) parti:
\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} =
\int_{0}^{1-} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{1+}^{\frac{3}{2}} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{\frac{3}{2}}^{-2} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} + ...
ciao a tutti
ho il seguente integrale:
$ ∫∫∫ x^2 + z^2 dxdydz $
da calcolarsi sul dominio $ \omega $ uguale ad una corona sferica di centro l'origine , avente raggio interno $ r $ ed esterno $ R $.
passando in coordinate sferiche, con $ \omega = {(\rho,\phi,\theta): 0<\theta<2π , 0<\phi<π , r<\rho<R} $
alla fine mi ritrovo con:
$ ( ∫\rho^4 d\rho) ∫(∫sin^3(\phi)cos^2(\theta) + cos^2(\phi)sin(\phi) d\phi) d\theta $
di qui in poi non riesco a capire come fare per integrare $ cos^2(\theta) $.. suggerimenti? grazie
Ciao a tutti. Vi chiedo aiuto per un esercizio della SISSA che proprio non riesco a risolvere
Il testo è il seguente:
Si consideri l'equazione differenziale alle derivate parziali
\[ u_t + u_x = u_{xx}, \quad \quad t\in(0,+\infty),\quad x\in(0,1),\quad u(t,x)\in \mathbb{R} \]
(a) Scrivere l'unica soluzione $\bar{u}(x)$ indipendente dal tempo e di classe $C^2([0,1],\mathbb{R})$ tale che
\[ \bar{u}(0)=1, \quad \quad \bar{u}(1)= 0.
\]
(b) Dimostrare che tutte le altre soluzioni ...
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