Equazione differenziale alle derivate parziali antipatica

[Lumi1]

Ciao a tutti. Vi chiedo aiuto per un esercizio della SISSA che proprio non riesco a risolvere
Il testo è il seguente:

Si consideri l'equazione differenziale alle derivate parziali
\[ u_t + u_x = u_{xx}, \quad \quad t\in(0,+\infty),\quad x\in(0,1),\quad u(t,x)\in \mathbb{R} \]
(a) Scrivere l'unica soluzione $\bar{u}(x)$ indipendente dal tempo e di classe $C^2([0,1],\mathbb{R})$ tale che
\[ \bar{u}(0)=1, \quad \quad \bar{u}(1)= 0.
\]
(b) Dimostrare che tutte le altre soluzioni $u(t,x)$ di classe $C^2([0,+\infty[\times [0,1], \mathbb{R})$ con gli stessi dati al bordo
\[ u(t,0)= 1, \quad \quad u(t,1)=0, \quad\quad \forall t\in[0,+\infty[
\]
convergono a $\bar{u}(x)$ uniformemente in $x$ per $t\to+\infty$.


Chiaramente il punto (a) è semplice e ha soluzione:

\[\bar{u}(x) = \frac{1}{e-1} ( e - e^x) \]

Per il punto (b) invece non ho proprio idee...o meglio ne ho tante ma tutte non portano a niente. Ho provato a risolvere esplicitamente l'equazione, tentando di riportarmi a qualche equazione conosciuta, ma senza risultati. Tentando dunque strade più "qualitative" mi sono reso conto del seguente fatto:

Se $u(t,x)$ converge uniformemente ad una funzione $f(x)$ per $t\to+\infty$ allora $f(x) = \bar{u}(x)$, come si vede passando al limite nell'equazione differenziale, e notando che l'ODE risultante gode di esistenza e unicità globale. E' chiaro che basterebbe anche la convergenza puntuale e il fatto che la famiglia $x \mapsto u(t,x)$ sia equicontinua in $t$, per Ascoli-Arzelà.

Mi servirebbe un suggerimento per mettermi sulla buona strada...
Confido nelle vostre risposte

[ciampax]

Le idee mi sembrano corrette, ma senza una forma più o meno esplicita della soluzione generale non mi pare tu possa dire niente. Hai provato con il metodo delle caratteristiche? Oppure trasformando l'equazione con Laplace.

[Lumi1]

Grazie dell'interessamento Ciampax.
Non vorrei sbagliare ma mi sembra che il metodo delle caratteristiche funzioni bene solo con equazioni del primo ordine, mentre qui abbiamo a che fare con un'equazione del second'ordine.
Ho provato a trasformare con Laplace rispetto alla variabile temporale (l'unica ammessa, visto che $x$ sta in $[0,1]$) ma ne ricavo soltanto l'equazione:
\[
s\mathcal{L}(u)(s,x) + u(0^+,x) = \partial_{xx}\mathcal{L}(u)(s,x) - \partial_{x}\mathcal{L}(u)(s,x)
\]
e non mi sembra promettente.

[ciampax]

Mi sembrava di aver visto il dato iniziale: effettivamente senza questo in forma esplicita la cosa non mi pare il massimo.
Quando parlavo di caratteristiche, in realtà stavo pensando a linearizzare l'equazione o, in alternativa, a scriverla come un sistema del primo ordine, ma effettivamente ancora l'assenza della condizione iniziale esplicita non aiuta.

Forse la separazione di variabili può essere d'aiuto