Esercizi misti
Siccome puntualmente non ho sono fornite le soluzioni agli esercizi verrei chiedere con voi se condividete le risposte che ho dato ai seguenti esercizi:
N°1:
Risposta b perchè utilizzando le coordinate polari ottengo che $\rho = \frac{sqrt{2}}{sqrt{\pi k}}$ con $k \in {0,1,....,+\infty}$; il disegno quindi corrisponde a tante circonferenze concentriche una delle quali ha raggio infinito (ed è esclusa l'origine degli assi). Quindi $A$ dovrebbe essere chiuso prechè $Fr(A) \subseteq A$ anzi $Fr(A)=A$, ma non è limitato perchè esiste appunto una circonferenza di raggio sempre più grande.
N°2:
Risposta b, perchè $\nabla f(0,0)=3D_1g(0,0)$ quindi $||\nabla f(0,0)||=3|D_1g(0,0)|$ perchè non conoscendo la funzione g sappiamo però che se faremo la sua norma deve risultare un numero positivo (perciò lo indichiamo entro il valore assoluto).
N°3:
Risposta b. Ho semplicemente scelto un cammino $\alpha(t)=(t,t^2)$ con $t \in [4,8]$. Ho calcolato $\aplha '(t)=(1,2t)$ e successivamente $\int_4^8 \frac{t^2}{t}*||(1,2t)||dt$ che fa appunto $\frac{257^{\frac{3}{2}}-65^{\frac{3}{2}}}{12}$
N°4:
Risposta a, perchè mi trovo a risolvere $\int_0^{2\pi} \int_0^1 f(2cos(\theta),2sin(\theta),\zeta)*2cos(\theta)d\zetad\theta$
Che svolgendo fa $2g(4)*[sin(\theta)]_0^{2\pi}$ che fa $0$.
Grazie per i vostri pareri.
N°1:
Risposta b perchè utilizzando le coordinate polari ottengo che $\rho = \frac{sqrt{2}}{sqrt{\pi k}}$ con $k \in {0,1,....,+\infty}$; il disegno quindi corrisponde a tante circonferenze concentriche una delle quali ha raggio infinito (ed è esclusa l'origine degli assi). Quindi $A$ dovrebbe essere chiuso prechè $Fr(A) \subseteq A$ anzi $Fr(A)=A$, ma non è limitato perchè esiste appunto una circonferenza di raggio sempre più grande.
N°2:
Risposta b, perchè $\nabla f(0,0)=3D_1g(0,0)$ quindi $||\nabla f(0,0)||=3|D_1g(0,0)|$ perchè non conoscendo la funzione g sappiamo però che se faremo la sua norma deve risultare un numero positivo (perciò lo indichiamo entro il valore assoluto).
N°3:
Risposta b. Ho semplicemente scelto un cammino $\alpha(t)=(t,t^2)$ con $t \in [4,8]$. Ho calcolato $\aplha '(t)=(1,2t)$ e successivamente $\int_4^8 \frac{t^2}{t}*||(1,2t)||dt$ che fa appunto $\frac{257^{\frac{3}{2}}-65^{\frac{3}{2}}}{12}$
N°4:
Risposta a, perchè mi trovo a risolvere $\int_0^{2\pi} \int_0^1 f(2cos(\theta),2sin(\theta),\zeta)*2cos(\theta)d\zetad\theta$
Che svolgendo fa $2g(4)*[sin(\theta)]_0^{2\pi}$ che fa $0$.
Grazie per i vostri pareri.
Risposte
Non so se è un problema mio, ma non vedo l'immagine.
Io la vedo, ma se vuoi provo a ricaricarla.
Ora le vedo.
1) Ragioni bene ma concludi male. Se passi a coordinate polari, l'equazione ha soluzioni
$$\frac{2}{\rho^2}=k\pi,\qquad k\ge 1$$
poiché non esiste un valore di $\rho$ tale che $2/\rho^2=0$, per cui
$$\rho_k=\sqrt{\frac{2}{k\pi}},\qquad k\ge 1$$
per cui ottieni tutte le circonferenze di centro l'origine e raggio $\rho_k$, dove quella più grande è $\rho_1=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$. L'insieme pertanto è limitato.
2) una cosa che non ho capito: ma $D_1$ sarebbe la derivata rispetto alla prima variabile o cosa? E il gradiente inteso sulle coordinate polari o cartesiane? Perché a me sembra il gradiente polare.
3) non ho fatto i conti ma il ragionamento è corretto.
4) stessa cosa del punto 2.
1) Ragioni bene ma concludi male. Se passi a coordinate polari, l'equazione ha soluzioni
$$\frac{2}{\rho^2}=k\pi,\qquad k\ge 1$$
poiché non esiste un valore di $\rho$ tale che $2/\rho^2=0$, per cui
$$\rho_k=\sqrt{\frac{2}{k\pi}},\qquad k\ge 1$$
per cui ottieni tutte le circonferenze di centro l'origine e raggio $\rho_k$, dove quella più grande è $\rho_1=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$. L'insieme pertanto è limitato.
2) una cosa che non ho capito: ma $D_1$ sarebbe la derivata rispetto alla prima variabile o cosa? E il gradiente inteso sulle coordinate polari o cartesiane? Perché a me sembra il gradiente polare.
3) non ho fatto i conti ma il ragionamento è corretto.
4) stessa cosa del punto 2.
N°1:
Non esiste $\frac{2}{\rho^2}=0$ perchè stabilito nella definizione dell'insieme $A$? Perchè se $\rho$ fosse $\infty$ l'equazione $\frac{2}{\rho^2}=0$ sarebbe verificata no?
N°2:
Con $D_1g(0,0)$ si indica la derivata della funzione $g$ rispetto la sua prima componente che in questo caso è $\rho$, calcolata per $(\rho,\theta) \rightarrow (0,0)$.
N°3:
Ok
N°4:
Anche qui $D_1f(x)$ indica la derivata di $f$ rispetto la sua prima componente, ovvero $x_1$.
Non esiste $\frac{2}{\rho^2}=0$ perchè stabilito nella definizione dell'insieme $A$? Perchè se $\rho$ fosse $\infty$ l'equazione $\frac{2}{\rho^2}=0$ sarebbe verificata no?
N°2:
Con $D_1g(0,0)$ si indica la derivata della funzione $g$ rispetto la sua prima componente che in questo caso è $\rho$, calcolata per $(\rho,\theta) \rightarrow (0,0)$.
N°3:
Ok
N°4:
Anche qui $D_1f(x)$ indica la derivata di $f$ rispetto la sua prima componente, ovvero $x_1$.
1) Quando tu risolvi un'equazione consideri anche $x=\infty$ come possibili soluzioni? E dai, non dire baggianate!
2) Ok, quindi abbiamo che
$$\nabla f=f_\rho+f_\theta=3\cos\theta D_1 g+3\sin\theta D_2 g-3\rho\sin\theta D_1 g+3\cos\theta D_2 g$$
Per cui se $(\rho,\theta)=0$ resta $\nabla f(0,0)=3 D_1 g$, e quindi mettendo la norma a sinistra, va il valore assoluto a destra.
3) Con un cambiamento di coordinate cilindriche si ha
$$f(\rho,\theta,z)=g(\rho^2)$$
per cui
$$D_1 f=f_\rho\cdot\rho_1+f_\theta\cdot\theta_1+f_z\cdot z_1=2\rho g'(\rho^2)\cdot\cos\theta$$
e quindi l'integrale (che è sulla chiusura, non sul bordo di $\Omega$)
$$\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_0^2 2\rho g'(\rho^2)\cos\theta\cdot\rho\ d\rho\ d\theta\ dz=\int_0^{2\pi} \cos\theta\ d\theta\cdot\int_0^2 2\rho^2 g'(\rho^2)\ d\rho$$
evisto che il primo integrale è zero, viene zero.
2) Ok, quindi abbiamo che
$$\nabla f=f_\rho+f_\theta=3\cos\theta D_1 g+3\sin\theta D_2 g-3\rho\sin\theta D_1 g+3\cos\theta D_2 g$$
Per cui se $(\rho,\theta)=0$ resta $\nabla f(0,0)=3 D_1 g$, e quindi mettendo la norma a sinistra, va il valore assoluto a destra.
3) Con un cambiamento di coordinate cilindriche si ha
$$f(\rho,\theta,z)=g(\rho^2)$$
per cui
$$D_1 f=f_\rho\cdot\rho_1+f_\theta\cdot\theta_1+f_z\cdot z_1=2\rho g'(\rho^2)\cdot\cos\theta$$
e quindi l'integrale (che è sulla chiusura, non sul bordo di $\Omega$)
$$\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_0^2 2\rho g'(\rho^2)\cos\theta\cdot\rho\ d\rho\ d\theta\ dz=\int_0^{2\pi} \cos\theta\ d\theta\cdot\int_0^2 2\rho^2 g'(\rho^2)\ d\rho$$
evisto che il primo integrale è zero, viene zero.
Ok grazie!
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