Operatore lineare e continuo in $L^2$
Ecco il testo dell'esercizio:
Sia \(\displaystyle \Omega \) un insieme L-misurabile di misura finita \(\displaystyle \mu(\Omega)<+\infty \) e sia \(\displaystyle g \in L^{\infty}(\Omega) \). Sia \(\displaystyle T_{g}:(L^{2}(\Omega),\| \cdot\|_{L^{2}(\Omega)}) \rightarrow (L^{2}(\Omega),\| \cdot\|_{L^{2}(\Omega)}) \) l'operatore definito da: \(\displaystyle T_{g}f=g\cdot f \ \ \forall f \in L^{2}(\Omega)=X \).
Dopo aver dimostrato che \(\displaystyle T_{g} \) è un operatore lineare e continuo, calcolarne la norma operatoriale \(\displaystyle \|T_{g}\|_{\mathcal{L}(X)} \).
Sono riuscito a dimostrare che \(\displaystyle T_g \in \mathcal{L}(X) \), cioè che \(\displaystyle T_g \) è lineare e continuo. Ed ho anche trovato la seguente stima (grazie alla disuguaglianza di Holder):
\(\displaystyle \|T_{g}\|_{\mathcal{L}(X)} = sup_{x\in X, x \neq 0} \frac{\|T_{g} f\|_{L^2(\Omega)}}{ \|f\|_{L^2(\Omega)}} \leq \|g\|_{L^{\infty}(\Omega)} \).
Per la disuguaglianza opposta, l'unica idea che ho avuto è stata quella di ricercare una successione \(\displaystyle \{f_n\} \) in \(\displaystyle L^2(\Omega) \smallsetminus \{0\} \) tale che \(\displaystyle \frac{\| T_{g}f_n \|_{L^2(\Omega)}^{2}}{\| f_n \|_{L^2(\Omega)}^{2}} = \frac{\int_{\Omega}g^{2} f_n^{2} d\mu}{\int_{\Omega} f_n^{2}d\mu} \longrightarrow (ess sup_{t\in\Omega} |g(t)|)^{2} = \|g\|_{L^{\infty}(\Omega)}^{2} \) per \(\displaystyle n\rightarrow \infty \)
ma non sono riuscito a trovarla...
Ogni suggerimento è ben accetto,
Ciao!
Sia \(\displaystyle \Omega \) un insieme L-misurabile di misura finita \(\displaystyle \mu(\Omega)<+\infty \) e sia \(\displaystyle g \in L^{\infty}(\Omega) \). Sia \(\displaystyle T_{g}:(L^{2}(\Omega),\| \cdot\|_{L^{2}(\Omega)}) \rightarrow (L^{2}(\Omega),\| \cdot\|_{L^{2}(\Omega)}) \) l'operatore definito da: \(\displaystyle T_{g}f=g\cdot f \ \ \forall f \in L^{2}(\Omega)=X \).
Dopo aver dimostrato che \(\displaystyle T_{g} \) è un operatore lineare e continuo, calcolarne la norma operatoriale \(\displaystyle \|T_{g}\|_{\mathcal{L}(X)} \).
Sono riuscito a dimostrare che \(\displaystyle T_g \in \mathcal{L}(X) \), cioè che \(\displaystyle T_g \) è lineare e continuo. Ed ho anche trovato la seguente stima (grazie alla disuguaglianza di Holder):
\(\displaystyle \|T_{g}\|_{\mathcal{L}(X)} = sup_{x\in X, x \neq 0} \frac{\|T_{g} f\|_{L^2(\Omega)}}{ \|f\|_{L^2(\Omega)}} \leq \|g\|_{L^{\infty}(\Omega)} \).
Per la disuguaglianza opposta, l'unica idea che ho avuto è stata quella di ricercare una successione \(\displaystyle \{f_n\} \) in \(\displaystyle L^2(\Omega) \smallsetminus \{0\} \) tale che \(\displaystyle \frac{\| T_{g}f_n \|_{L^2(\Omega)}^{2}}{\| f_n \|_{L^2(\Omega)}^{2}} = \frac{\int_{\Omega}g^{2} f_n^{2} d\mu}{\int_{\Omega} f_n^{2}d\mu} \longrightarrow (ess sup_{t\in\Omega} |g(t)|)^{2} = \|g\|_{L^{\infty}(\Omega)}^{2} \) per \(\displaystyle n\rightarrow \infty \)
ma non sono riuscito a trovarla...
Ogni suggerimento è ben accetto,
Ciao!
Risposte
Se \(g\) ammette un massimo assoluto in un punto \(x_0\in \Omega\), allora una successione \(f_n\) tale che \(f_n^2\) tende ad una delta di Dirac concentrata in \(x_0\) fa al caso tuo. Per una generale funzione \(g\in L^\infty\), forse puoi cercare di sfruttare questa idea in modo più measure-theoretic.
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