Convergenza integrale
Salve a tutti
Devo studiare la convergenza di questo integrale
\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} \end{align}
Noto che devo studiare in particolare cosa succede nell'intorno di \(\displaystyle x = 1, 2, +\infty; \)
Allora suddivido l'integrale in 5 (ahimè) parti:
\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} =
\int_{0}^{1-} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{1+}^{\frac{3}{2}} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{\frac{3}{2}}^{-2} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{2+}^{3} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{3}^{\infty} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} \end{align}
Se tutti e 5 gli integrali convergono, anche l'integrale di partenza convergerà. Comincio quindi a cercare di capire se il primo integrale converge o diverge, ma subito mi blocco. Infatti vedo che
\begin{align} \lim_{x \to 1} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} = -\frac{1}{2} \end{align}
e quindi non posso utilizzare i vari criteri del confronto asintotico, poiché la funzione di partenza non è né infinitesima né infinita in \(\displaystyle x = 1 \).
A questo punto ho provato sia integrando per parti, sia cercando qualche improbabile sostituzione, ma mi sembra di finire sempre in un vicolo ceco.
Qual è la falla nel mio ragionamento?
Grazie mille per le eventuali risposte!
Devo studiare la convergenza di questo integrale
\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} \end{align}
Noto che devo studiare in particolare cosa succede nell'intorno di \(\displaystyle x = 1, 2, +\infty; \)
Allora suddivido l'integrale in 5 (ahimè) parti:
\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} =
\int_{0}^{1-} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{1+}^{\frac{3}{2}} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{\frac{3}{2}}^{-2} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{2+}^{3} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{3}^{\infty} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} \end{align}
Se tutti e 5 gli integrali convergono, anche l'integrale di partenza convergerà. Comincio quindi a cercare di capire se il primo integrale converge o diverge, ma subito mi blocco. Infatti vedo che
\begin{align} \lim_{x \to 1} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} = -\frac{1}{2} \end{align}
e quindi non posso utilizzare i vari criteri del confronto asintotico, poiché la funzione di partenza non è né infinitesima né infinita in \(\displaystyle x = 1 \).
A questo punto ho provato sia integrando per parti, sia cercando qualche improbabile sostituzione, ma mi sembra di finire sempre in un vicolo ceco.
Qual è la falla nel mio ragionamento?
Grazie mille per le eventuali risposte!
Risposte
ti ricordo che, in un intervallo limitato, se l'integrando non diverge ,ovviamente non diverge neanche l'integrale
"stormy":
ti ricordo che, in un intervallo limitato, se l'integrando non diverge ,ovviamente non diverge neanche l'integrale
In generale posso quindi affermare che ogni qual volta io mi ritrovi il limite dell'integranda, in un intervallo chiuso, che tende ad un numero finito, allora l'integrale converge.
Nel mio caso quindi mi ritroverei ad affrontare solamente i due integrali che hanno come estremo 2, poiché li il limite della funzione integranda in questo caso tende a \(\displaystyle \infty \) per \(\displaystyle x \to 2 \).
E' corretto quello che ho detto oppure qualche matematico si sta rivoltando nella tomba?
Grazie mille per la risposta!
hai afferrato il concetto
Grazie mille!!!! 
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