Problema con integrale e massimo
Salve, ho un problema con gli integrali in cui compaiono massimi o minimi, in cui cioè bisogna fare entrambi i casi. Purtroppo non dispongo di esercizi risolti dal prof (sul suo libro non ce ne sono di questo tipo, ma all'esame li mette) ma solo da altri studenti.
Provo a riportare un esempio di soluzione a disposizione e mie perplessità in merito.
$A=0<=z<=3, (x^2+9y^2)<=max{1;z^2}$
Calcolare L3(A) (la misura di Lebesgue)
Caso 1 ($max{1;z^2}=1$)
$0<=z<=3, (x^2+9y^2)<=1$
Ho un cilindro quindi uso le coordinate cilindriche:
$\{(x=\rho*cos(\theta)),(y=\rho*sin(\theta)),(z=z):}$
Andando a sostituire ottengo gli estremi:
$\{(0<=\rho<=1,0<=\theta<2\pi,0<=z<=3:}$
Qui la mia domanda è, perché z va da 0 a 3 ? Io ho $(x^2+9y^2)<=max{1;z^2}$.
Nell'intervallo (prima condizione) $0<=z<=3$, avrò che 1 è il massimo tra 1 e $z^2$ solo nell'intervallo $0<=z<=1$, mentre per z tra 1 e 3 avrò che il massimo è $z^2$. Quindi, nel "Caso 1" non si dovrebbe integrare in z solo tra 0 e 1?
Nel caso 2, ovvero dove considera come massimo $z^2$, anche qui chi ha risolto l'esercizio integra in z tra 0 e 3, e non capisco perché.
Infine, fatti i due casi (gli integrali a me tornano correttamente e valgono rispettivamente $\pi$ e 3$\pi$), il risolutore fa la somma dei due integrali. il che avrebbe per me senso se non avesse integrato su tutto z come ha fatto.
Chi dei due ha fatto il ragionamento corretto ?
P.S. Nel caso in cui non va calcolata una Misura ma un integrale normale, il ragionamento sugli estremi e sulla somma dei risultati è uguale, giusto?
Provo a riportare un esempio di soluzione a disposizione e mie perplessità in merito.
$A=0<=z<=3, (x^2+9y^2)<=max{1;z^2}$
Calcolare L3(A) (la misura di Lebesgue)
Caso 1 ($max{1;z^2}=1$)
$0<=z<=3, (x^2+9y^2)<=1$
Ho un cilindro quindi uso le coordinate cilindriche:
$\{(x=\rho*cos(\theta)),(y=\rho*sin(\theta)),(z=z):}$
Andando a sostituire ottengo gli estremi:
$\{(0<=\rho<=1,0<=\theta<2\pi,0<=z<=3:}$
Qui la mia domanda è, perché z va da 0 a 3 ? Io ho $(x^2+9y^2)<=max{1;z^2}$.
Nell'intervallo (prima condizione) $0<=z<=3$, avrò che 1 è il massimo tra 1 e $z^2$ solo nell'intervallo $0<=z<=1$, mentre per z tra 1 e 3 avrò che il massimo è $z^2$. Quindi, nel "Caso 1" non si dovrebbe integrare in z solo tra 0 e 1?
Nel caso 2, ovvero dove considera come massimo $z^2$, anche qui chi ha risolto l'esercizio integra in z tra 0 e 3, e non capisco perché.
Infine, fatti i due casi (gli integrali a me tornano correttamente e valgono rispettivamente $\pi$ e 3$\pi$), il risolutore fa la somma dei due integrali. il che avrebbe per me senso se non avesse integrato su tutto z come ha fatto.
Chi dei due ha fatto il ragionamento corretto ?
P.S. Nel caso in cui non va calcolata una Misura ma un integrale normale, il ragionamento sugli estremi e sulla somma dei risultati è uguale, giusto?
Risposte
Prima di tutto dovresti scrivere correttamente la funzione minimo: visto che in partenza hai $o\le z\le 3$ puoi osservare che
$$\min\{1, z^2\}=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & 1\le z^2\\ z^2 & & 1> z^2
\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & 1\le z\le 3\\ z^2 & & 0\le z < 1
\end{array}\right.$$
Pertanto l'integrale si spezza sui due domini seguenti:
$$D_1:\ 0\le z <1,\qquad x^2+9y^2\le z^2\\ D_2:\ 1\le z\le 3,\qquad x^2+9y^2\le 1$$
$$\min\{1, z^2\}=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & 1\le z^2\\ z^2 & & 1> z^2
\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & 1\le z\le 3\\ z^2 & & 0\le z < 1
\end{array}\right.$$
Pertanto l'integrale si spezza sui due domini seguenti:
$$D_1:\ 0\le z <1,\qquad x^2+9y^2\le z^2\\ D_2:\ 1\le z\le 3,\qquad x^2+9y^2\le 1$$
"ciampax":
Pertanto l'integrale si spezza sui due domini seguenti:
$$D_1:\ 0\le z <1,\qquad x^2+9y^2\le z^2\\ D_2:\ 1\le z\le 3,\qquad x^2+9y^2\le 1$$
Ok, quindi gli estremi di z cambiano.
Non è che "cambiano gli estremi": è che il dominio è costituito da due parti.
Si, quello che volevo dire è nel caso uno integro z in D1, nel caso 2 integro z in D2. Ovvero che nel caso 1 non devo integrare z fino a 3.
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