Esercizio su Potenziale di un Campo Vettoriale
Nel seguente esercizio:
Affinché il campo vettoriale $F$ sia esatto è necessario che $b=3tan(x_1-3x_2)$.
Scelgo i cammini:
$\alpha(t)=(t,0)$ con $t \in [0,\pi]$
e
$\beta(t)=(\pi,t)$ con $t \in [0,\pi]$
Quindi $\alpha'(t)=(1,0)$ e $\beta'(t)=(0,1)$.
Vado dunque a calcolare:
$U(\pi,\pi) = U(0,0) + \int_0^\pi (cos(t),3tg(t)sin(t))*(1,0) dt +\int_0^\pi (cos(\pi-3t),3tg(\pi-3t)sin(\pi-3t))*(0,1) dt$
1)$U(0,0)=0$
2)$\int_0^\pi (cos(t),3tg(t)sin(t))*(1,0) dt = 0 $
3)$\int_0^\pi (cos(\pi-3t),3tg(\pi-3t)sin(\pi-3t))*(0,1) dt = \int_0^\pi tg(x)sin(x) dx$ se pongo $\pi-3t=x$
Quanto vale $\int_0^\pi tg(x)sin(x) dx$? Come si svolge? Fino a qui vi sembra corretto il procedimento?
Grazie per l'aiuto!
Affinché il campo vettoriale $F$ sia esatto è necessario che $b=3tan(x_1-3x_2)$.
Scelgo i cammini:
$\alpha(t)=(t,0)$ con $t \in [0,\pi]$
e
$\beta(t)=(\pi,t)$ con $t \in [0,\pi]$
Quindi $\alpha'(t)=(1,0)$ e $\beta'(t)=(0,1)$.
Vado dunque a calcolare:
$U(\pi,\pi) = U(0,0) + \int_0^\pi (cos(t),3tg(t)sin(t))*(1,0) dt +\int_0^\pi (cos(\pi-3t),3tg(\pi-3t)sin(\pi-3t))*(0,1) dt$
1)$U(0,0)=0$
2)$\int_0^\pi (cos(t),3tg(t)sin(t))*(1,0) dt = 0 $
3)$\int_0^\pi (cos(\pi-3t),3tg(\pi-3t)sin(\pi-3t))*(0,1) dt = \int_0^\pi tg(x)sin(x) dx$ se pongo $\pi-3t=x$
Quanto vale $\int_0^\pi tg(x)sin(x) dx$? Come si svolge? Fino a qui vi sembra corretto il procedimento?
Grazie per l'aiuto!
Risposte
$b(x_1,x_2)=-3/{\tan(x_1-3x_2)}$ Infatti la condizione di chiusura si scrive
$$\left[b\cdot\sin(x_1-3x_2)\right]_{x_1}=3\sin(x_1-3x_2)$$
da cui l'espressione scritta sopra.
$$\left[b\cdot\sin(x_1-3x_2)\right]_{x_1}=3\sin(x_1-3x_2)$$
da cui l'espressione scritta sopra.
Un campo vettoriale, stellato rispetto qualche suo punto, se è chiuso è esatto. Quindi affinché sia chiuso faccio:
$\frac{dF_1}{dx_2}(x_1,x_2) = -3(-sin(x_1-3x_2))$
e
$\frac{dF_2}{dx_1}(x_1,x_2) =b(cos(x_1-3x_2))$
Ora affinchè non siano uguali $\frac{dF_1}{dx_2}(x_1,x_2) = \frac{dF_2}{dx_1}(x_1,x_2)$, $b$ non deve essere:
$b= \frac{-3(-sin(x_1-3x_2))}{(cos(x_1-3x_2))}$ ovvero $b=3\frac{sin(x_1-3x_2)}{cos(x_1-3x_2)}$ cioè $b=3tg(x_1-3x_2)$?
$\frac{dF_1}{dx_2}(x_1,x_2) = -3(-sin(x_1-3x_2))$
e
$\frac{dF_2}{dx_1}(x_1,x_2) =b(cos(x_1-3x_2))$
Ora affinchè non siano uguali $\frac{dF_1}{dx_2}(x_1,x_2) = \frac{dF_2}{dx_1}(x_1,x_2)$, $b$ non deve essere:
$b= \frac{-3(-sin(x_1-3x_2))}{(cos(x_1-3x_2))}$ ovvero $b=3\frac{sin(x_1-3x_2)}{cos(x_1-3x_2)}$ cioè $b=3tg(x_1-3x_2)$?
Ehm, giovine, se $b$ è una funzione, lo devi derivare... Per come hai scritto tu, lo tratti come una costante.
Ah io pensavo fosse una costante..
Pensavi fosse una costante e lo scrivi come tangente di qualcosa? Coerente come Renzi, proprio! 
Ahahah adesso provo a rifarlo come dici te!
Ok prendendo $b=\frac{-3}{tg(x_1-3x_2)}$ mi trovo a risolvere l'integrale:
$\int_0^\pi (cos(-2t),-3cos(-2t))*(1,1)dt$ (Prodotto scalare)
Il quale dovrebbe dare come risultato $0$, quindi la risposta sarebbe la c. Giusto?
$\int_0^\pi (cos(-2t),-3cos(-2t))*(1,1)dt$ (Prodotto scalare)
Il quale dovrebbe dare come risultato $0$, quindi la risposta sarebbe la c. Giusto?
Ad ogni modo come svolgeresti $\int tg(x)*sin(x) dx$?
Calma e sangue freddo: se la forma/campo è esatta non devi svolgere l'integrale!
Qui diventa
$$F(x_1,x_2)=(\cos(x_1-3x_2),-3\cos(x_1-3x_2))$$
e quindi una primitiva generica è
$$U(x,y)=\sin(x_1-3x_2)+c,\qquad c\in\mathbb{RR}$$
Quella cercata è quella in cui $c=0$ (basta sostituire con $(0,0)$) e quindi si ha
$$U(\pi,\pi)=\sin(\pi-3\pi)=\sin(-2\pi)=0$$
Qui diventa
$$F(x_1,x_2)=(\cos(x_1-3x_2),-3\cos(x_1-3x_2))$$
e quindi una primitiva generica è
$$U(x,y)=\sin(x_1-3x_2)+c,\qquad c\in\mathbb{RR}$$
Quella cercata è quella in cui $c=0$ (basta sostituire con $(0,0)$) e quindi si ha
$$U(\pi,\pi)=\sin(\pi-3\pi)=\sin(-2\pi)=0$$
Ma io esercizi su potenziali di questo tipo li ho sempre risolti così.. Cioè scelgo un cammino adatto che mi porti da punto di partenza (che è quello per il quale viene fornito il valore di potenziale iniziale, in questo caso $(0,0)$) al punto finale che in questo caso è $(\pi,\pi)$. Poi appunto svolgo l'integrale di seconda specie sostituendo alle componenti di $F$, ovvero $x_1$ e $x_2$ le componenti del cammino che ho scelto. Infine sommo il potenziale del punto iniziale che in questo esercizio è 0 al risultato dell'integrale di seconda specie. Naturalmente se per arrivare dal punto iniziale al punto finale spezzo in più cammini sommo i risultati dei vari integrali di seconda specie.
Un'altro esempio in cui ho proceduto nel modo seguente è questo:
Dove ho dato la risposta a, ma ho esattamente proceduto allo stesso modo dell'esercizio che ho postato inizialmente. In particolare per arrivare da $(0,0)$ a $(1,1)$ avevo scelto due cammini:
$\alpha(t)=(t,0)$ con $t \in [0,1]$
e
$\beta(t)=(1,t)$ con $t \in [0,1]$
Ho risolto i due integrali curvilinei di seconda specie con gli estremi $0$ e $1$.
Quello che intendi tu è che è più facile e breve la via che hai indicato piuttosto che fare come ho fatto io?
Scusa se dico boiate ogni tanto, e grazie per la pazienza.
Un'altro esempio in cui ho proceduto nel modo seguente è questo:
Dove ho dato la risposta a, ma ho esattamente proceduto allo stesso modo dell'esercizio che ho postato inizialmente. In particolare per arrivare da $(0,0)$ a $(1,1)$ avevo scelto due cammini:
$\alpha(t)=(t,0)$ con $t \in [0,1]$
e
$\beta(t)=(1,t)$ con $t \in [0,1]$
Ho risolto i due integrali curvilinei di seconda specie con gli estremi $0$ e $1$.
Quello che intendi tu è che è più facile e breve la via che hai indicato piuttosto che fare come ho fatto io?
Scusa se dico boiate ogni tanto, e grazie per la pazienza.
Non è che il tuo metodo sia sbagliato. Ma se riesci a trovare la forma "generale" delle primitive, è inutile mettersi a fare integrali su cammini vari che portano via tempo. Ti ricordo alcune cose fondamentali: se $\omega$ è chiusa su un dominio semplicemente connesso $D$, allora è esatta su esso. Ora, se $\gamma$ è una curva che unisce due punti $A$ e $B$ contenuti in $D$, sappiamo che l'integrale curvilineo è indipendente dal cammino. Pertanto, se $f$ è una primitiva di $\omega$, cioè $df=\omega$, allora $\int_\gamma\omega=f(B)-f(A)$. Visto che tutte le primitive si trovano a meno di una costante, un'altra primitiva $f_1$ è tale che $f_1=f+c$. Pertanto, per determinare la primitiva che vale $a$ in un punto $(x_0,y_0)$ basta porre $f_1(x_0,y_0)=f(x_0,y_0)+c=a$ e ricavare $c=a-f(x_0,y_0)$ (dove $f$ è la primitiva generale senza la costante).
In questo caso io direi che, dal momento che il campo è conservati (= forma esatta) su tutto $RR^2$ e che $U(x,y)=1/2\log(5+x_1^2+3x_2^2)$, il potenziale cercato(=primitiva) è quello per cui $0=1/2\log 5+c\ \Rightarrow\ c=-1/2\log 5$. Pertanto $U(1,1)=1/2\log 9-1/2\log 5={\log 9-\log 5}/2$.
In questo caso io direi che, dal momento che il campo è conservati (= forma esatta) su tutto $RR^2$ e che $U(x,y)=1/2\log(5+x_1^2+3x_2^2)$, il potenziale cercato(=primitiva) è quello per cui $0=1/2\log 5+c\ \Rightarrow\ c=-1/2\log 5$. Pertanto $U(1,1)=1/2\log 9-1/2\log 5={\log 9-\log 5}/2$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo