Limite di successione

[duckside]

Ciao ragazzi, non riesco a risolvere il seguente limite:
$ lim_(n -> +oo ) (log(n!)) / (n*logn) $

Alcuni tentativi:

Visto che mi sono spoilerato che va a 1, ho pensato di usare il teorema dei carabinieri. Si può facilmente maggiorare con 1, ma non riesco a minorarla.
Poi ho osservato che $ log(n!)/n $ è la media aritmetica di $ logn $ ma vanno entrambe a $+oo$ quindi forma indeterminata

[marco2132k]

Io userei questo https://en.m.wikipedia.org/wiki/Stolz%E ... ro_theorem

Ma non so se ci sono modi più diretti.

[Bokonon]

https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling% ... roximation

[duckside]

Grazie a entrambi, però avrei dovuto specificare che dovrei risolverlo con strumenti "basilari", noti nei primi mesi di un corso di analisi 1 (operazioni tra limiti, rapporto, carabinieri, limiti notevoli, gerarchia degli infiniti, teoremi sul limite delle medie...).

[marco2132k]

"duckside":teoremi sul limite delle medie

Eh ma per curiosità intendi il fatto che per una successione \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \), se \( \lim_{n\to \infty}x_n = l \) allora anche \( \lim_{n\to \infty}\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} = l \)? Perché per dimostrare questo si usa (=l'unica dimostrazione che il mio unico neurone ha visto usa) proprio il teorema che ti ho linkato.

E, in caso, come dico io hai
\[
\frac{\log((n + 1)!) - \log(n!)}{(n + 1)\log(n + 1) - n\log(n)} = \frac{\log(n + 1)}{\log\Bigl({\bigl(1 + \frac{1}{n}\bigr)}^n\Bigr) + \log(n + 1)} = \frac{1}{\frac{\log\Bigl({\bigl(1 + \frac{1}{n}\bigr)}^n\Bigr)}{\log(n + 1)} + 1}
\] che per \( n\to \infty \) tende a \( 1 \).

[duckside]

"marco2132k":[quote="duckside"]teoremi sul limite delle medie

Eh ma per curiosità intendi il fatto che per una successione \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \), se \( \lim_{n\to \infty}x_n = l \) allora anche \( \lim_{n\to \infty}\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} = l \)? Perché per dimostrare questo si usa (=l'unica dimostrazione che il mio unico neurone ha visto usa) proprio il teorema che ti ho linkato.[/quote]

Sì, intendo questo. Però Stolz-Cesàro non l'abbiamo proprio fatto, la prof ci ha dato un'altra dimostrazione per il limite delle medie (la classica dimostrazione dove maggiori $ |A_n - l| $ con $epsilon$ per una costante, dove $A_n$ è la media aritmetica)

[Bokonon]

Un'idea potrebbe essere questa:
1) poichè $n^n>=n!$, abbiamo che $ln(n^n)>=ln(n!) rArr ln(n!)/(nln(n))<=1$ pertanto la successione è limitata.
2) dimostrare che è anche monotona crescente

[duckside]

"Bokonon":Un'idea potrebbe essere questa:
1) poichè $n^n>=n!$, abbiamo che $ln(n^n)>=ln(n!) rArr ln(n!)/(nln(n))<=1$ pertanto la successione è limitata.
2) dimostrare che è anche monotona crescente

Così dimostrerei solo che converge

[Bokonon]

"duckside":
Così dimostrerei solo che converge

Ed essendo limitata a cosa converge?

[duckside]

"Bokonon":[quote="duckside"]
Così dimostrerei solo che converge

Ed essendo limitata a cosa converge? [/quote]
Per il teorema di regolarità delle successioni monotone, una successione crescente e sup limitata converge, ma non posso dire che il limite sia 1. Altrimenti potrei anche dire
$(log(n!))/(nlogn)<=1<2$ e monotona crescente, allora tende a 2.

[Bokonon]

@duckside
....ma hai letto il punto 1) ?

[duckside]

"Bokonon":@duckside
....ma hai letto il punto 1) ?

[ot]Edit: avevo frainteso, chiedo scusa[/ot]

[Bokonon]

Come vuoi, arrangiati.
Se non ti va di imparare la matematica, impara almeno a portare rispetto in questo forum.

[duckside]

"Bokonon":Come vuoi, arrangiati.
Se non ti va di imparare la matematica, impara almeno a portare rispetto in questo forum.

[ot]Edit2: avevo frainteso, chiedo scusa[/ot]

Comunque credo di averlo risolto con la disuguaglianza tra medie

Come ho osservato nel primo post, $log(n!)/n$ è la media aritmetica di $logn$ e la successione è ovviamente maggiorata da 1. Allora, dette $A_n$ la media aritmetica e $G_n$ la media geometrica di $logn$, ho che $\forall n>=2$:
$G_n/logn <= A_n/logn <=1 $
Basta dimostrare che $G_n/logn $ tende a 1 e per il teorema dei carabinieri ho finito. Non so se l'abbia risolto in un modo ottimale, comunque:
Considero $a_n$ = $(G_n/logn)^n = (log1*log2*...*logn)/(logn)^n $
Sia ${b_n}$ tale che $b_0 = a_1$ e $b_n = a_{n+1}/a_n $
Come è noto, la media geometrica di $b_n$ è $a_n^{1/n}$ cioè $G_n/logn$. Poiché $b_n -> 1$ allora anche $G_n/logn$.

Edit1: c'è un errore, $log1=0$ quindi la media geometrica è sempre uguale a 0

[duckside]

Penso di aver trovato la soluzione che cercavo:
$log(n!)/(nlog(n)) = log(root(n)(n!))/log(n) = log(root(n)(n!)*n/n)/log(n) = log(root(n)(n!)/n)/log(n) + log(n)/log(n)=$
$ = log(root(n)(n!)/n)/log(n) + 1$
Ma $lim_{n \to \infty} n/root(n)(n!)=e$ da cui si deduce che la successione tende a 1.

Nonostante l'avessi già scritto in quella forma, non avevo pensato di usare quel limite notevole
Grazie per i diversi approcci che mi avete suggerito!

[Mephlip]

Per curiosità, duckside, come dimostri che $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{root(n)(n!)}=e$? Perché mi sembra di ricordare che si debba usare l'approssimazione di Stirling, o il calcolo integrale (strumento successivo a quelli da te richiesti in questo topic); forse usi il teorema che lega il criterio della radice a quello del rapporto?

Bello Piplup!

[Bokonon]

"Mephlip":Per curiosità, duckside, come dimostri che $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{root(n)(n!)}=e$?

Dice che è un limite notevole
E' un cane si morde la coda.

Comunque una cosa è vera...non è facile dimostrare che la successione è monotona crescente.
Non ci ho speso molto tempo ma ora la metto nel cassetto e vedo di trovare un modo (se c'è!)

[duckside]

"Mephlip":Per curiosità, duckside, come dimostri che $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{root(n)(n!)}=e$? Perché mi sembra di ricordare che si debba usare l'approssimazione di Stirling, o il calcolo integrale (strumento successivo a quelli da te richiesti in questo topic); forse usi il teorema che lega il criterio della radice a quello del rapporto?

"Bokonon":Dice che è un limite notevole
E' un cane si morde la coda.

La prof ce lo ha dimostrato con il teorema del limite della media geometrica, con lo stesso metodo che ho usato qui (anche se in quel messaggio c'è un erroraccio) e da lì in poi ha institito che "è un limite notevole" (avrei dovuto pensarci prima a usarlo visto che insisteva così tanto )

Edit2: Per chiarire, mi riferivo a questa parte:

"duckside":Considero $a_n$ = $(G_n/logn)^n = (log1*log2*...*logn)/(logn)^n $
Sia ${b_n}$ tale che $b_0 = a_1$ e $b_n = a_{n+1}/a_n $
Come è noto, la media geometrica di $b_n$ è $a_n^{1/n}$ cioè $G_n/logn$. Poiché $b_n -> 1$ allora anche $G_n/logn$.

Cioè se ho una successione positiva, ne considero la potenza ennesima $a_n$ e osservo che la media geometrica del rapporto $a_{n+1}/a_{n}$ è proprio la successione di partenza.

Edit: Dal "metodo" che ho usato si vede subito che se l è il limite del rapporto allora è anche il limite della radice ennesima (è la sua media geometrica), quindi credo sia il "teorema che lega il criterio della radice a quello del rapporto"?

"Bokonon":Comunque una cosa è vera...non è facile dimostrare che la successione è monotona crescente.
Non ci ho speso molto tempo ma ora la metto nel cassetto e vedo di trovare un modo (se c'è!)

Grazie!

[marco2132k]

"duckside":il "teorema che lega il criterio della radice a quello del rapporto"

Se \( (a_n)_{n\in \mathbb N} \) è sempre \( >0 \), hai
\[
\liminf_{n\in \mathbb N}\frac{a_{n + 1}}{a_n}\leqq \liminf_{n\in \mathbb N}\sqrt[n]{a_n}\leqq \limsup_{n\in \mathbb N}\sqrt[n]{a_n}\leqq \limsup_{n\in \mathbb N}\frac{a_{n + 1}}{a_n}\text{.}
\]
È questo. Si dimostra in modo molto simile a quell'altra disuguaglianza che ti ho mandato. Non mi ricordo mai l'ordine, mannaggia.

[Mephlip]

@duckside: Ok, perché ad esempio nel mio corso di analisi non è mai stata introdotta nessuna disuguaglianza tra medie armonica/geometrica/aritmetica, quindi quel limite si dimostra o con l'uso dell'approssimazione di Stirling o, più avanti, riconducendolo al calcolo di un integrale definito. Mi riferivo esattamente a quello che ha detto @marco2132k!

[duckside]

"marco2132k":Se \( (a_n)_{n\in \mathbb N} \) è sempre \( >0 \), hai
\[
\liminf_{n\in \mathbb N}\frac{a_{n + 1}}{a_n}\leqq \liminf_{n\in \mathbb N}\sqrt[n]{a_n}\leqq \limsup_{n\in \mathbb N}\sqrt[n]{a_n}\leqq \limsup_{n\in \mathbb N}\frac{a_{n + 1}}{a_n}\text{.}
\]

Ah ok, questo non l'ho ancora studiato.

"Mephlip":perché ad esempio nel mio corso di analisi non è mai stata introdotta nessuna disuguaglianza tra medie armonica/geometrica/aritmetica

Penso ci siamo capiti, ma comunque vorrei specificare che per dimostrare quel limite "notevole" non abbiamo usato la disuguaglianza tra medie (l'ho usata in quel post per provare a risolvere il limite discusso nel thread), mi riferivo a questa parte:

"duckside":Considero $a_n$ = $(G_n/logn)^n = (log1*log2*...*logn)/(logn)^n $
Sia ${b_n}$ tale che $b_0 = a_1$ e $b_n = a_{n+1}/a_n $
Come è noto, la media geometrica di $b_n$ è $a_n^{1/n}$ cioè $G_n/logn$. Poiché $b_n -> 1$ allora anche $G_n/logn$.

Cioè se ho una successione positiva, ne considero la potenza ennesima $a_n$ e osservo che la media geometrica del rapporto $a_{n+1}/a_{n}$ è proprio la successione di partenza.

Del resto anche se eravamo autorizzati a usarla, la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica l'avevamo solo enunciata (per poi dimostrarla con Jensen molto più avanti, praticamente alla fine del corso)