Campo conservativo

[MD_Buckaroo]

Buonasera,
cerco di risolvere questo esercizio in qui viene chiesto di stabilire se il seguente campo è conservativo:

\(\displaystyle F: \Re^2 \rightarrow \Re^2, (x,y) \mapsto \left (-4y+e^{x^2}, siny-\frac{x}{4} \right )\)

Ora, potrei usare la relazione campo \(\displaystyle C^1 \) irrotazionale su dominio semplicemente connesso \(\displaystyle \Rightarrow \) campo conservativo, ma ahimè ho verificato che \(\displaystyle F \) non è irrotazionale. Stabilire se trattasi di un campo gradiente non mi sembra possibile visto il bisogno di integrare sulla prima componente, che non mi risulta integrabile. Dunque non saprei come procedere.
La soluzione afferma che il campo non è irrotazionale e dunque non è conservativo, però ciò non mi torna dato che questa relazione non mi sembrava essere biunivoca.

Grazie in anticipo.

[Mephlip]

Condizione necessaria affinché una forma differenziale $\omega$ definita su un aperto $\Omega$ di $\mathbb{R}^n$ e tale che $\omega \in \mathcal{C}^1(\Omega)$ sia esatta in $\Omega$ è che $\omega$ sia chiusa in $\Omega$.

In sostanza (nelle ipotesi di regolarità suddette) l'implicazione campo conservativo $\implies$ campo irrotazionale è equivalente, dal punto di vista logico, all'implicazione campo non irrotazionale $\implies$ campo non conservativo.