Un esercizio sull'equicontinuità

[mklplo751]

Salve, continuando a studiare un po', sono arrivato a un po' di concetti che mi hanno dato non poche difficoltà, ovvero quelli che servono per capire il Teorema di Ascoli Arzelà, che forse è meglio enunciare dato che ho visto che viene riportato in modi diversi a seconda del libro.
"Sia $(X, \tau)$ uno spazio topologico compatto e $(Y,d)$ uno spazio metrico completo. Una famiglia $F \sub (C(X,Y), \rho) $ (con $\rho(f,g)=max{d(f(x),g(x)), x \in X} $) di funzioni continue è relativamente compatta (ovvero sottoinsieme di un sottospazio compatto) se e solo se è equicontinua e puntualmente totalmente limitata (ovvero ${f(x):f \in F}$ è totalmente limitato per ogni $x \in X$)"
Ora, la cosa in cui trovo maggiormente difficoltà è effettivamente verificare che una data famiglia di funzioni rispetti le proprietà di essere relativamente compatta, equicontinua e puntualmente totalmente limitata.
Ad esempio, prendo il seguente esercizio:
(Manetti 6.31) "Si dica se la famiglia di applicazioni continue ${f_n} \sub (C([0,1], RR)) \ , \ f_n(x)=x^n$ è equicontinua e possiede punti di accumulazione in $C([0,1], RR)$".
Io ho proceduto in questo modo:

Per prima cosa, noto che la successione converge rispetto $\rho$ se e solo se converge uniformemente. Ora, considero la seguente funzione $f(x)=0 \ \forall x \in [0,1)$ e $f(1)=1$. Verifichiamo che la successione converge puntualmente a questa funzione. Per $0$ e $1$ l'asserto è ovvio, mentre vediamo fissato $ \epsilon >0$ allora $ \forall x \in (0,1)$ preso $n>N= min{k \in NN: k\geq log_x(\epsilon)}$ si ha che $x^n<\epsilon$. Poichè in $RR$ vale la proprietà di Archimede, posso sempre fare questa scelta.
Dimostriamo ora che la successione non converge uniformemente alla funzione. Ci basta notare che (nelle notazioni di prima) se $ x \rightarrow 1$ si ha $N \rightarrow +oo$, da ciò segue che la successione con converge uniformemente a $f$. Ora, poichè se il limite esiste (dato che siamo in spazi T2) è unico, abbiamo che se la nostra successione convergesse uniformemente a una funzione, questa sarebbe continua, inoltre dovrebbe coincidere in ogni punto con $f$ il che è assurdo dato che $f$ è discontinua. Da ciò segue che ogni spazio che contiene la nostra successione non può essere compatto per successioni (da ciò segue anche che non ha punti di accumulazione nello spazio altrimenti potrei trovare un'estratta convergente a quel punto), dato che esiste una successione che non ammette estratte convergenti (rispetto a $\rho$), allora non può neanche essere compatto dato che lo spazio è metrico. Dunque la nostra successione non è relativamente compatta.
Dal Teorema di Ascoli Arzelà, segue che o non è equicontinua o non puntualmente totalmente limitata. Notiamo però che al variare di $x \in [0,1]$ ${f_n(x)}$ è un sottospazio compatto di $RR$, e dunque è completo e totalmente limitato, da ciò segue che la successione non è equicontinua.

Se non vi reca disturbo, potreste controllare il procedimento?

[mklplo751]

Ah no...mi sono appena reso conto di un errore davvero stupido tra punti di massimo e massimo...niente, ci devo pensare di nuovo e corregere appena avrò tempo.
Edit: ora ho corretto, spero che vada bene.
P.s: giusto per curiosità, stavo confrontando questo enunciato del Teorema di Ascoli Arzelà con quello di testi di Analisi 2 e mi è venuto un dubbio: per funzioni come quelle nell'enunciato essere equicontinue e puntualmente totalmente limitate e essere equicontinue e equilimitate, sono condizioni equivalenti?

[mklplo751]

Onestamente, mi sembra che ciò che ho fatto nel procedimento sia leggermente esagerato, tuttavia non mi veniva il modo di dimostrarlo usando direttamente la definizione, e questo mi capita abbastanza spesso. Forse dovrei aspettarle di vedere in Analisi 2, perchè almeno in Geometria 2 non mi sembra sia la norma usare disuguaglianze; poi forse mi sbaglio.