Integrale doppio

[Gianluk3]

Salve a tutti, stavo affrontando il seguente integrale, ma non riesco a capire bene come scrivere i domini semplici in questo caso:

$\int int_Omega yx dxdy$ con $Omega={(x,y) in RR^2: 0<=y<=(x+1)^2, 0<=x<=5-y}$.

Io per cercare di trovare un dominio, ho rappresentato graficamente i due vincoli e trovato l'area in questione ma non riesco a trovare un modo nè per esprimerlo rispetto all'asse x o y.
Io avevo pensato a:

$(x+1)^2<=y<=5-x$ con $x in [0,1]$ ma facendo i calcoli, il risultato non viene.

Avevo pensato a questo dominio semplice perchè vedendolo graficamente mi sembrava corretto rispettando i vincoli.

Cosa sbaglio? C'è qualche "trucchetto" per riuscire ad individuare/capire velocemente come trovarlo?

P.S. Ancora non ho affrontato il cambiamento di variabile quindi non saprei risolverlo con essi.

Grazie mille per l'aiuto.

[Bokonon]

Devi spezzare il dominio:
$int_0^1 x (int_0^((x+1)^2) ydy)dx$ + $int_1^5 x (int_0^(5-x) ydy)dx$

[Gianluk3]

"Bokonon":Devi spezzare il dominio:
$int_0^1 x (int_0^((x+1)^2) ydy)dx$ + $int_1^5 x (int_0^(5-x) ydy)dx$

Scusa, perchè il primo integrale in $dx$ lo fai tra 0 e 1 e il secondo tra 1 e 5? Non riesco a capirlo molto. Le $x$, non variano in entrambi i casi tra 0 e 1?

Quindi quando non riesco a scrivere con i due vincoli un dominio semplice, posso sempre "spezzarlo" cosi?

[Mephlip]

Hai provato a disegnare l'insieme $\Omega$? Con un disegno e con una comprensione corretta di cos'è un insieme semplice rispetto a $x$, dovrebbe tornarti chiaro perché Bokonon ha scritto la somma di integrali così.

[Gianluk3]

"Mephlip":Hai provato a disegnare l'insieme $\Omega$? Con un disegno e con una comprensione corretta di cos'è un insieme semplice rispetto a $x$, dovrebbe tornarti chiaro perché Bokonon ha scritto la somma di integrali così.

Si l'ho disegnato e ora ho capito perchè ha scritto cosi: lo ha fatto perchè non si poteva scrivere una forma del tipo $h_1(x)<=y<=h_2(x)$ oppure $g_1(y)<=x<=g_2(y)$.

Però ho un appunto da fare sul secondo integrale di Bokonon: nel secondo integrale, il più esterno è fatto in $dy$ giusto? perchè è la $y$ che varia tra 1 e 5, corretto?

[Mephlip]

"Gianluk3":Si l'ho disegnato e ora ho capito perchè ha scritto cosi: lo ha fatto perchè non si poteva scrivere una forma del tipo $h_1(x)<=y<=h_2(x)$ oppure $g_1(y)<=x<=g_2(y)$.

Esatto, hai due limitazioni dall'alto su $y$ e quindi non è normale: tuttavia, scrivendolo come unione di insiemi e sfruttando l'additività dell'integrale, si possono sfruttare le formule di riduzione.

"Gianluk3":Però ho un appunto da fare sul secondo integrale di Bokonon: nel secondo integrale, il più esterno è fatto in $dy$ giusto? perchè è la $y$ che varia tra 1 e 5, corretto?

No, il più esterno è, in entrambi i casi, integrato in $\text{d}x$.
L'insieme è stato scritto come unione di due insiemi normali rispetto a $x$, quindi la $x$ varia sempre in un intervallo numerico e la $y$ varia tra due funzioni.

[Gianluk3]

"Mephlip":
No, il più esterno è, in entrambi i casi, integrato in $\text{d}x$.
L'insieme è stato scritto come unione di due insiemi normali rispetto a $x$, quindi la $x$ varia sempre in un intervallo numerico e la $y$ varia tra due funzioni.

Cioè? Come ha trovato questi due insiemi? Sarà banale ma ho iniziato oggi gli esercizi su questa parte e ancora non sono molto pratico perdonami.
Però la $x$, se vedo $Omega$ graficamente, non varia tra 1 e 5.
Non era più veloce integrare prima in $dx$ e poi $dy$ dato che non cambia il valore dell'integrale?

[Mephlip]

Dal disegno di $\Omega$ si vede bene che, per $0\leqx\leq1$, la $y$ sta tra la retta orizzontale $y=0$ e la parabola $y=(x+1)^2$ e poi, per $1\leqx\leq5$, la $y$ sta tra la retta orizzontale $y=0$ e la retta $y=5-x$.

Edit: Corretta una formula sbagliata.

[Bokonon]

E' come dice il buon Mephlip.
Come l'ho impostato io, ho semplicemente spezzato il dominio perché la y varia fra due curve di cui una è l'asse delle x. Mentre la x varia in un intervallo numerico.

Occorre spezzarlo perché ci sono 2 curve. Tutto qua

Puoi anche impostarlo al contrario ma sarebbe assai più difficile da risolvere perché comparirebbe una radice.

[Gianluk3]

Ok più o meno mi è chiaro, devo solo metabolizzarlo un pò.

Se invece lo avessi spezzato così:
$ int_0^1 x (int_0^((x+1)^2) ydy)dx + int_1^5 y (int_0^(5-y) xdx)dy $, sarebbe andato bene lo stesso?
In questo modo utilizzo i due vincoli separatamente ma in teoria è indifferente fare prima l'integrale in $dx$ e $dy$ o viceversa, giusto?

[Bokonon]

Certo
Però la y varia fra $0

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[Gianluk3]

"Bokonon":Certo
Però la y varia fra $0
Però guardando il grafico la y sta tra 1 e 5

[Bokonon]

Ho corretto il post.
Riassumo qua. Se vuoi integrare prima per x la seconda parte, allora parti dal punto di intersezione (1,4).
Quindi $ int_0^1 x (int_0^((x+1)^2) ydy)dx + int_0^4 y (int_1^(5-y) xdx)dy $

[Gianluk3]

ok perfetto grazie mille.
Non è che mi sapresti dare un aiuto con l'altro integrale che ho postato?
Grazie mille