Limiti superiore e inferiore e sottosuccessioni "che partizionano \( \mathbb N \)"

[marco2132k]

Ciao. Se \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \) è una successione reale tale che le sottosuccessioni \( (x_{2n})_{n\in \mathbb N} \) e \( (x_{2n + 1})_{n\in \mathbb N} \) convergano rispettivamente ai valori \( c \) e \( d \), allora è
\[
\liminf_{n\to \infty}a_n = \min\{c,d\}\qquad \limsup_{n\to \infty}a_n = \max\{c,d\}\text{.}
\]
Riporto la dimostrazione in spoiler.

Dimostrazione. Pongo \( L^{-} := \min\{c,d\} \) ed \( L^{+} := \max\{c,d\} \). Faccio vedere che \( L^{+} \) è il limite superiore usando una nota caratterizzazione (se non è nota, ditemelo pure); l'altro caso è pressoché uguale. Sia \( \epsilon > 0 \). Dato \( n\in \mathbb N \), esiste certamente un qualche \( n_0 > n \) tale che \( x_{n_0} > L^{+} - \epsilon \): se (facciamo) è \( L^{+} = \lim_{n\to \infty}x_{2n} \), allora si ha \( \lvert x_{2n} - L^{+}\rvert < \epsilon \) definitivamente. Inoltre, si ha definitivamente \( x_n < L^{+} + \epsilon \): definitivamente è \( x_{2n} < c + \epsilon \) e \( x_{2n + 1} < d + \epsilon \), e allora definitivamente è anche \( x_n < \max\{c,d\} + \epsilon = L^{+} + \epsilon \). \( \square \)

C'è una generalizzazione di questo fatto che "coinvolga più sottosuccessioni"?

Ad esempio, è vero che se \( (x_n)_{n\in \mathbb N} \) è una successione, e \( (\sigma_i)_{i\in I} \) è una famiglia finita di applicazioni crescenti \( \sigma_i\colon \mathbb N\to \mathbb N \) tali che \( \mathbb N = \coprod_{i\in I}\sigma_i(\mathbb N) \) e tali che \( (x_{\sigma_i(n)})_{n\in \mathbb N} \) converga per ogni \( i\in I \), allora
\[
\liminf_{n\to \infty}x_n = \min\{\lim_{n\to \infty}x_{\sigma_i(n)} : i\in I\}\qquad \limsup_{n\to \infty}x_n = \max\{\lim_{n\to \infty}x_{\sigma_i(n)} : i\in I\}\text{?}
\]

Se non è vero, c'è qualcosa di simile, ma che sia vero?

[otta96]

Si si è vero, tra l'altro il limite può essere anche $+-\infty$ di una sottosuccessione.

[marco2132k]

Ok, grazie!

[marco2132k]

L'ipotesi di finitezza di \( I \) si può rilassare? E fino a che punto?

[otta96]

Direi di no.

[dissonance]

Questo è un fatto basico delle successioni; liminf e limsup coincidono con il minimo e il massimo dei punti limite, rispettivamente. È spiegato molto bene sul Baby Rudin.

[marco2132k]

Non me l'aveva mai detto nessuno. Me lo guardo.