Integrale triplo

Gianluk3
Salve a tutti, mi sono imbattuto in un integrale triplo e avrei qualche domanda.

L'integrale è:

$int int int_T x dxdydz$ con $T={(x,y,z): z^2+x^2<=1, 0<=y<=1-x-z}$.

Io ho provato a risolverlo rappresentandolo graficamente, ma non riesco a farlo bene in 3D e utilizzando anche il pc non sono riuscito a visualizzarlo bene, perchè dovrei integrare la metà inferiore del cilindro. E' corretta come interpretazione grafica?
Seconda domanda:
Io avevo provato ad impostarlo cosi:

Dato che ho $z^2+x^2<=1$, integro prima:

$int_ 0^(1-x-z)xdy$

e poi avrei:

$intint_(z^2+x^2<=1)xdxdz$ , risolvendolo passando alle coordinate polari, con $0<=rho<=1$ e $phi in [0,2pi]$, ma facendo i calcoli, mi viene $0$. Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire dove sbaglio? Sopratutto se avete qualche consiglio per impostare i tripli, perchè rispetto ai doppi mi sembrano molto più ostici.
Grazie mille

Risposte
Studente Anonimo
Studente Anonimo
Nella speranza che tu conosca le notazioni sottostanti:

Primo insieme unidimensionale

$A_(xz)={y in RR: T ne \phi}$

$0 lt= y lt= 1-x-z$

Secondo insieme bidimensionale

$\Pi_(13)={(x,z) in RR^2: A_(xz) ne \phi}$

$\{(x^2+z^2 lt= 1),(1-x-z gt= 0):}$

Integrazione per fili

$\int_{\Pi_(13)}dxdz\int_{A_(xz)}dyf(x,y,z)$

Gianluk3
"anonymous_0b37e9":
Nella speranza che tu conosca le notazioni sottostanti:

Primo insieme unidimensionale

$A_(xz)={y in RR: T ne \phi}$

$0 lt= y lt= 1-x-z$

Secondo insieme bidimensionale

$\Pi_(13)={(x,z) in RR^2: A_(xz) ne \phi}$

$\{(x^2+z^2 lt= 1),(1-x-z gt= 0):}$

Integrazione per fili

$\int_{\Pi_(13)}dxdz\int_{A_(xz)}dyf(x,y,z)$


No perdonami ma non le conosco.
Ciò che mi sembra di capire da ciò che hai scritto tu è di fare:

$int int_(Pi_13)dxdzint_0^(1-x-z)dy$

Il sistema di disequazioni:
$ \{(x^2+z^2 lt= 1),(1-x-z gt= 0):} $, come mi consiglieresti di spezzarlo? Io pensavo di:
1) Considerare le equazioni corrispondenti, trovando due soluzioni: $z=0$ oppure $z=-2$.
2)Integrare cosi:
$int_0^-2int _0^(1-x-z)xdxdz$

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Dopo il primo integrale:

$\int_{\Pi_(13)}dxdz\int_{0}^{1-x-z}xdy=\int_{\Pi_(13)}x(1-x-z)dxdz$

si tratta di un integrale doppio nell'insieme sottostante:

$\{(x^2+z^2 lt= 1),(1-x-z gt= 0):}$

"Gianluk3":

... come mi consiglieresti di spezzarlo?

Al netto di eventuali simmetrie, è del tutto indifferente. Vero è che il tuo procedimento non ha alcun senso.

Gianluk3
Allora, pensavo di:

- Spezzare l'integrale doppio in due integrali doppi, dato che per le z negative è un semicilindro, quindi fare: $int_-1^-1int_(-sqrt(1-x^2))^0x(1-x-z)dzdx$.

-Per la parte sopra l'asse z, spezzare in altri due integrali:

$int_0^1int_(-sqrt(1-z^2))^0x(1-x-z)dxdz$ e $int_0^1int_0^(1-z)x(1-x-z)dxdz$.

Cosi va meglio? Spezzare in questo modo è l'unica cosa plausibile che mi sembri funzionare.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Mi limito a scrivere i due procedimenti equivalenti:

$\int_{-1}^{0}dx\int_{-sqrt(1-x^2)}^{sqrt(1-x^2)}x(1-x-z)dz+\int_{0}^{1}dx\int_{-sqrt(1-x^2)}^{1-x}x(1-x-z)dz$


$\int_{-1}^{0}dz\int_{-sqrt(1-z^2)}^{sqrt(1-z^2)}x(1-x-z)dx+\int_{0}^{1}dz\int_{-sqrt(1-z^2)}^{1-z}x(1-x-z)dx$

Gianluk3
"anonymous_0b37e9":
Mi limito a scrivere i due procedimenti equivalenti:

$\int_{-1}^{0}dx\int_{-sqrt(1-x^2)}^{sqrt(1-x^2)}x(1-x-z)dz+\int_{0}^{1}dx\int_{-sqrt(1-x^2)}^{1-x}x(1-x-z)dz$


$\int_{-1}^{0}dz\int_{-sqrt(1-z^2)}^{sqrt(1-z^2)}x(1-x-z)dx+\int_{0}^{1}dz\int_{-sqrt(1-z^2)}^{1-z}x(1-x-z)dx$

Grazie mille. Effettivamente non avevo pensato a trattarli cosi e si risparmia un integrale procedendo cosi.

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