Analisi matematica di base

Buongiorno a tutti, il prof. a lezione ci ha presentato il seguente esercizio: "Sia $mu$ una misura su $R^+$ e sia $Y_t=int_0^tX_smu(ds)$. Assumendo che $X$ sia un moto Browniano, calcolare la varianza $sigma_t^2$ di $Y_t$. Denotata con $K_(s,t)=int_0^tdmu(u)int_0^smin(u,v)dmu(v)$ la funzione di covarianza, si ha che $sigma_t^2=K_(t,t)=I_2+I_2$ con $I_1=int_0^tdmu(u)int_0^uvdmu(v)$ e con $I_2=int_0^tdmu(u)int_u^tudmu(v)$ " e fin qui, effettuando gli opportuni passaggi mi è tutto chiaro. I miei dubbi sorgono ...

Salve a tutti, sono alle prese con questo esercizio: Sia $ mu $ una misura su $R^+$ tale che $mu([a;b])<+infty$ per ogni intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e sia $ Y_t=int _(0)^(t) X_s mu d(s) $. Se $X$ è un moto Browniano, calcolare la varianza di $Y_t$ . Se con $K_(s,t) = E(Y_t,Y_s)$ indichiamo la funzione di covarianza, applicando il teorema di Fubini (che ci permette di portare il valore atteso all'interno del segno di integrale) si ha ...

Sia $f(x,y)=x^8-2x^4y+y^3-y$. Mostrare che il punto $(0,1/3)$ è di sella. Io ho provato ad usare il fatto che se trovo due restrizioni di $f$ tali che in una $(0,1/3)$ è un punto di minimo locale e nell'altra è un punto di massimo locale allora necessariamente è punto di sella (oppure basta trovare una restrizione di $f$ in cui $(0,1/3)$ è un punto di sella). Ho provato con $y=1/3$ da cui $f(x,1/3)=x^8-2/3x^4-8/27$ e dove in $x=0$ si ha ...

Ho un dubbio sul minimo in 2 variabili. Ho studiato il metodo dell'hessiana, però mi chiedevo, di fatto, perché non posso agire così: prendo f(x,y) tratto prima y come paramentro e mi trovo il minimo della parte di competenza della x, y mi rimane parametro espresso (di fatto ho una g(y)), ora minimizzo su y. Non trovo comunque un minimo? E cosa cambia in generale dal metodo standard? Mi sfugge che danno farei ad agire così.

Salve a tutti, avrei un dubbio che riguarda come calcolare l'immagine di una funzione quando essa è soggetta a più vincoli in forma di disequazione Ad esempio $ A = \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 : x_1^2+x_2^2 \leq (x_3-4)^2 , 0 \leq x_3 \leq 8\}$ $ f(x_1,x_2,x_3) = x_1 + x_2 + x_3 $ Ho capito se dovessi calcolare $ f(A) $ in questo caso visto che la funzione è soggetta ad un vincolo dovrei usare il teorema dei moltiplicatori di lagrange. Ma non capisco come fare dal momento che il vincolo in questo caso non è in forma di equazione Qualcuno saprebbe come fare a capire ...

Salve a tutti, volevo sapere se questa metodologia per risolvere il seguente limite sia giusta: $ $ $ lim_(n-> +infty) ((5^n+sin(n))/(3^n-2^n)) $ $ $ Io qui ho osservato che il $ lim_(n-> +infty) sin(n) $ è oscillante tra -1 ed 1, quindi ho sostituito nel limite di partenza: $ lim_(n-> +infty) ((5^n+1)/(3^n-2^n)) $ ed $ lim_(n-> +infty) ((5^n-1)/(3^n-2^n)) $ Trovando che in entrambi i casi quest'ultimo va a $ +infty $ . È giusto ragionare così? Inoltre è possibile ragionare in maniera analoga (quindi con il confronto tra ...

Salve a tutti, vorrei chiedere il vostro supporto per la risoluzione di questi due limiti, utilizzando i confronti asintotici (non utilizzando limiti notevoli o teorema di de l'Hôpital). 1) Vorrei sapere se i passaggi che ho utilizzato per risolvere questo limite sono corretti, per favore. Il riultato è correttamente $1/2$ $lim_(x->0)(tan(x)-sin(x))/x^3$ La forma indeterminata che ottengo è $0/0$ $lim_(x->0)((sin(x)/cos(x))-sin(x))/x^3$ = $lim_(x->0)((sin(x)-sin(x)+cos(x))/cos(x))/x^3$ = $lim_(x->0)((sin(x)(1-cos(x)))/cos(x))/x^3$ riscrivo ...

Ciao a tutti, avrei un dubbio riguardo al metodo di risoluzione degli esercizi circa il trovare gli estremanti relativi di una funzione in due variabili. Ho capito il procedimento usando l'Hessiano, però il mio professore di Analisi 2 non sembra volere che venga usato l'Hessiano (nel libro non viene neanche citato), ma sembra voler usare le forme quadratiche. Ora io ho provato un po' ad informarmi in online per capire come risolvere questi esercizi con questo metodo, ma non sto trovando ...

Impazzisco con gli studi di funzione "sui generis" dove è quasi bandita "l'analiticità formale". Vi propongo questo esercizio: $ (1+sen^2(x))^(1/x) $ Non credo sia fattibile nella più classica delle modalità conosciute. La funzione all'infinito positivo o negativo che sia, tende ad 1. Il diagramma è tracciabile con qualsiasi tool. Come potrebbe essere svolto uno studio "organico" di essa? Grazie a tutti A.

Salve, ho un dubbio sul teorema delle successioni monotone. Questo teorema afferma che se una successione è monotona e limitata, allora essa è convergente e che se una successione è monotona, allora è regolare (quindi convergente o divergente). La condizione del teorema è una condizione necessaria e sufficiente o no? Se ho una successione regolare, allora essa è monotona?

Salve, ho da poco iniziato lo studio dell'analisi complessa, ma mi trovo in difficoltà con un esercizio. Esercizio: Data la funzione complessa di tipo esponenziale: $ f(z)=e^(2piiz) $ , descrivere l'immagine tramite la funzione f del seguente insieme del piano complesso $ D={z=x+iy|-1/2<x<=1/2,y>2} $ La logica da me seguita è stata quella di: 1.graficarmi l'insieme nel piano complesso 2. dopodiché ho considerato $z=x+iy$ e sostituito nell'espressione della funzione ottenendo che: ...

Sto effettuando lo studio della seguente funzione: $abs(x)^(\frac{x}{x^2-1})$ Lo si può affrontare impostandola come $ e^(\frac{x}{x^2-1}ln abs(x)) $. Asintoto orizzontale e considerazioni sulle eventuali asimmetrie rispetto a questo nascono quasi spontanee. Il problema è la derivata prima e come valutare il suo (eventuale) cambio di segno nello zero $ (x=1)$ . La funzione da studiare ha anche dei flessi ma come si intuisce la derivata seconda è instudiabile. Riporto la derivata prima ...

Salve ragazzi avrei dei dubbi sulla risoluzione di questo esercizio: $ lim_(x -> 0) ((root(7)(1+x) -root(7)(1-x))/ (log(1+x+sinx))) $ Qui ho provato a risolvere il numeratore in questo modo (sempre tenendo conto della forma indeterminata): $ lim_(x -> 0) ((root(7)(1+x)*-[-root (7) (((1-x)/(1+x)))+1]))/ (log(1+x+sinx)) $ Poi effettuando gli eventuali calcoli: $ lim_(x -> 0) ((root(7)(1+x)*-[-root (7) (((1-x+x-x)/(1+x)))+1]))/ (log(1+x+sinx)) $ $ lim_(x -> 0) ((root(7)(1+x)*-[-root (7) (1+(1-2x)/(1+x))+1]))/ (log(1+x+sinx)) $ Ho diviso e moltiplicato per $ (1-2x)/(1+x) $ Per ricondurmi al limite notevole: $ lim_(y -> 0) ((1+y)^alpha -1 )/y=alpha $ in questo caso $ alpha = 1/7 $ Il problema è invece il denominatore che non ho idea ...

Ciao a tutti, vorrei riordinare le idee sulle potenze rigaurdo un esercizio che ho letto in rete. Non riesco però a trovare una definizione che non sia delle scuole medie riguardo le potenze nei vari campi indicari e poi in base a quelle dimostrare quanto scritto nel seguente esercizio: Quanto vale $1^n$ con $n in NN$? E con $n in ZZ$? E quanto vale $1^(1/m)$ con $m in ZZ$ e $m != 0$? Quindi, quanto vale $1^(n/m)$ con ...

Ciao a tutti sono in difficoltà con questo limite: lim (n-1/n+1)^n con n->+inf risultato 1/e^2 Grazie in anticipo!

Ciao a tutti, Sia data la seguente equazione alle differenze, con $t in NN$ : $x(t+1)= [ ( 0 , 0 , 0.5 , 0 ),(0.5 , 0 , 0.5 , 0.5 ),( 0 , 1 , 0 , 0.5 ),( 0.5 , 0 , 0 , 0 ) ] * x(t) $ Sia $x(0)^t= (0.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 )$ Devo calcolare $ lim_(t -> +oo ) x(t+1) $ . Notando che: $x(1)^t = (0.125, 0.375, 0.375, 0.125)$ E che i vari $x_i (t)$ diminuiscono volta volta, giungo immediatamente alla conclusione che Devo calcolare $ lim_(t -> +oo ) x(t+1) = (0, 0, 0, 0)$ . Eppure il risultato non è questo. Qualcuno sa dirmi dove ho sbagliato?

Ciao a tutti! 1) Vorrei chiedervi come è possibile risolvere il limite della sommatoria: $ sum_(n = \1 )^(+oo) [(n!) / [e^(n^2)]] $ So come calcolare il carattere: utilizzando il criterio del rapporto. Il mio problema sta nel fatto che non so come calcolare la possibilità di convergenza, ossia: $ lim_(x -> +oo ) [(n!) / [e^(n^2)]] $ 2) Riferendomi alla prima domanda, vorrei anche chiedervi se è necessario, nel calcolo delle somme numeriche, calcolare il $ lim_(x -> +oo ) $ anche se si conosce già il carattere di quest'ultima. Il ...

Ciao a tutti, stavo riprendendo le successioni di funzioni e, nel fare alcuni esercizi, mi sono sorti dei dubbi. (i) Consideriamo la seguente successione di funzioni: $f_n(x)=(\sqrt(x)(1-x))/(1+nx)$, con $x\in[0,1]$. Si vede facilmente che converge puntualmente a $f_\infty=0$, inoltre essendo $[0,1]$ compatto, ho notato che, ad $x$ fisso, la successione $\{f_n(x)\}_n$ è decrescente in $n$, dunque per un teorema di monotonia ho che la successione converge ...

Salve ragazzi volevo sapere se i passaggi per risolvere la seguente serie fossero corretti: $ sum_(n = \1) ((n^alpha)/2*(sqrt((n+1)/(n+2))-1 ))^n $ con $ alpha in R $ Ho applicato il criterio della radice trovandomi un espressione come: $ sum_(n = \1) ((n^alpha)/2*(sqrt((n+1)/(n+2))-1 )) $ E a questo punto ho cercato di ricondurmi al limite notevole (per la parentesi): $ lim_(f(x) -> +infty) ((1+f(x))^c-1)/(f(x))=c $ E sono arrivato a questo risultato: $ lim_(n -> +infty) (n^alpha)/2 *((1+(1)/(n+1))^(1/2)-1) $ Quindi utilizzando il limite notevole sono arrivato a: $ lim_(n -> +infty) (n^alpha)/2 *(((1+(1)/(n+1))^(1/2)-1)/(1/(n+1))*1/(n+1)) $ Ora però mi trovo un'altra ...

Signori, mi sono inceppato in altro studio di funzione: $ \int_0^{x}{t\log|t+2|}/(1+t^2) \ dt $ All' infinito l'integranda diverge. Posso immaginare che lo studio debba essere in $ ]-2,\ 0\ [ $. Qualche idea ?