Studio della convergenza della serie di funzioni.
Buongiorno
Sto provando la convergenza della seguente serie di funzioni.
Studiare al variare di $a in R$ la seguente serie
Primo passaggio verifico quando si la condizione necessaria.
Si ha
quindi, ponendo $a_n=2/(sqrt(n+2)+sqrt(n)), b_n=(arctan(1/n)-log(1+1/n))^a$
abbiamo che $a_n \to + 0$, e $b_n to (pi/2)^a$ quando $n to +infty$, pertanto, dall'algebra dei limiti, la condizione necessaria è verificata per ogni $a$ reale.
Secondo passaggio considero le seguenti maggiorazioni
1) $(sqrt(n+2)-sqrt(n))≤n+2-n=2$
2) $1/n$
3) $1+1/n$
quindi si ha
pertanto, ponendo $c=2(-1)^a$ si ha \(\displaystyle c=\begin{cases} 1, & \mbox{se }a=0 \\ -2, & \mbox{se }a\mbox{ dispari} \\ 2, & \mbox{se }a\mbox{ pari} \end{cases} \)
Dal criterio del confronto si ha che la serie data è convergente è ha per somma
Può andare bene ?
Ciao
Sto provando la convergenza della seguente serie di funzioni.
Studiare al variare di $a in R$ la seguente serie
$sum_(n=1)^(+infty)(sqrt(n+2)-sqrt(n))(arctan(1/n)-log(1+1/n))^a$
Primo passaggio verifico quando si la condizione necessaria.
Si ha
$(sqrt(n+2)-sqrt(n))(arctan(1/n)-log(1+1/n))^a=2/(sqrt(n+2)+sqrt(n))(arctan(1/n)-log(1+1/n))^a$
quindi, ponendo $a_n=2/(sqrt(n+2)+sqrt(n)), b_n=(arctan(1/n)-log(1+1/n))^a$
abbiamo che $a_n \to + 0$, e $b_n to (pi/2)^a$ quando $n to +infty$, pertanto, dall'algebra dei limiti, la condizione necessaria è verificata per ogni $a$ reale.
Secondo passaggio considero le seguenti maggiorazioni
1) $(sqrt(n+2)-sqrt(n))≤n+2-n=2$
2) $1/n$
3) $1+1/n$
quindi si ha
$(sqrt(n+2)-sqrt(n))(arctan(1/n)-log(1+1/n))^a≤2(1/n-(1+1/n))^a=2(-1)^a$
pertanto, ponendo $c=2(-1)^a$ si ha \(\displaystyle c=\begin{cases} 1, & \mbox{se }a=0 \\ -2, & \mbox{se }a\mbox{ dispari} \\ 2, & \mbox{se }a\mbox{ pari} \end{cases} \)
Dal criterio del confronto si ha che la serie data è convergente è ha per somma
\(\displaystyle S=\begin{cases} 1, & \mbox{se }a=0 \\ -2, & \mbox{se }a\mbox{ dispari} \\ 2, & \mbox{se }a\mbox{ pari} \end{cases} \)
Può andare bene ?
Ciao
Risposte
Sei proprio sicuro o sicura di quel limite di \(b_n\)?
Ciao p.v.14,
No. Tanto per cominciare hai sbagliato il titolo dell'OP, infatti non si tratta di una serie di funzioni, ma di una serie numerica parametrica; poi perché l'hai studiata per $a$ intero, mentre invece l'esercizio richiede di studiare al variare di $a \in \RR $ la seguente serie:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(sqrt(n+2)-sqrt(n))[arctan(1/n)-log(1+1/n)]^a = 2 \sum_{n = 1}^{+\infty}[arctan(1/n)-log(1+1/n)]^a/(sqrt(n+2)+sqrt(n)) $
Oltre a quanto ti ha già scritto dissonance, comincerei col verificare che la serie proposta non converge per $a = 0 $. Siccome poi $a \in \RR $, darei anche un'occhiata alla base per assicurarmi che sia sempre positiva...
In effetti ti è andata bene, perché studiando la derivata della funzione
$y = f(x) = arctan(1/x) - log(1 + 1/x) $
per $x > 0 $ si può scoprire facilmente che essa ha un massimo nel punto $M(1, y_M) $ ove $ y_M := arctan(1) - log(2) > 0 $
Poi è evidente che si ha $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $, pertanto l'asse $x$, cioè la retta di equazione $y = 0 $, è asintoto orizzontale per la funzione $f(x) $ e $\AA n \ge 1 $ si ha $0 < b_n < 1 $ ove $b_n := arctan(1/n) - log(1 + 1/n)$ e la serie proposta (che è a termini positivi) non converge per $a < 0 $. Ti resta da indagare cosa accade per $a > 0 $
"p.v.14":
Può andare bene ?
No. Tanto per cominciare hai sbagliato il titolo dell'OP, infatti non si tratta di una serie di funzioni, ma di una serie numerica parametrica; poi perché l'hai studiata per $a$ intero, mentre invece l'esercizio richiede di studiare al variare di $a \in \RR $ la seguente serie:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(sqrt(n+2)-sqrt(n))[arctan(1/n)-log(1+1/n)]^a = 2 \sum_{n = 1}^{+\infty}[arctan(1/n)-log(1+1/n)]^a/(sqrt(n+2)+sqrt(n)) $
Oltre a quanto ti ha già scritto dissonance, comincerei col verificare che la serie proposta non converge per $a = 0 $. Siccome poi $a \in \RR $, darei anche un'occhiata alla base per assicurarmi che sia sempre positiva...
In effetti ti è andata bene, perché studiando la derivata della funzione
$y = f(x) = arctan(1/x) - log(1 + 1/x) $
per $x > 0 $ si può scoprire facilmente che essa ha un massimo nel punto $M(1, y_M) $ ove $ y_M := arctan(1) - log(2) > 0 $
Poi è evidente che si ha $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $, pertanto l'asse $x$, cioè la retta di equazione $y = 0 $, è asintoto orizzontale per la funzione $f(x) $ e $\AA n \ge 1 $ si ha $0 < b_n < 1 $ ove $b_n := arctan(1/n) - log(1 + 1/n)$ e la serie proposta (che è a termini positivi) non converge per $a < 0 $. Ti resta da indagare cosa accade per $a > 0 $
Buonasera, grazie ad entrambi.
Cerco di essere più esplicitO possibile, cosi se scrivo stupidaggini mi fermate.
Rispondo per primo all'osservazione fatta da dissonance, dove, se fosse corretto il mio ragionamento dovrebbe dare un ulteriore conferma all'affermazione fatta da pilloeffe.
Parto da questa osservazione che segue dai limiti notevoli e dai relativi confronti
Se $a=0$, allora $b_n$ è identicamente uguale a $1$, quindi, la C.N. non è verificata.
Se $a>0$, allora dall'algebra dei limiti, si ha $b_n ~ (1/n-1/n)^a=0$ per $n to + infty$
Se $a<0$, e tenuto conto del caso precedente, si ha
Dall'osservazione precedente, il caso di interesse è $a>0$. (Non capisco perché abbia distinto caso pari e dispari nel messaggio iniziale, tutta colpa di wikipedia e del piatto di pasta che stava chiamando
, e oltre alla mia ignoranza )
Ora dovrei andare al punto successivo, dove le maggiorazioni dovrebbe continuare a valere, quindi, se tutto ha senso, si ha la convergenza della seria data.
La somma non è quella che ho detto.
Saluti
Cerco di essere più esplicitO possibile, cosi se scrivo stupidaggini mi fermate.
Rispondo per primo all'osservazione fatta da dissonance, dove, se fosse corretto il mio ragionamento dovrebbe dare un ulteriore conferma all'affermazione fatta da pilloeffe.
Parto da questa osservazione che segue dai limiti notevoli e dai relativi confronti
$arctan(1/n) ~ 1/n$, $log(1+1/n) ~ 1/n$ per $n to + infty$
Se $a=0$, allora $b_n$ è identicamente uguale a $1$, quindi, la C.N. non è verificata.
Se $a>0$, allora dall'algebra dei limiti, si ha $b_n ~ (1/n-1/n)^a=0$ per $n to + infty$
Se $a<0$, e tenuto conto del caso precedente, si ha
$(arctan(1/n) - log(1+1/n))^a=1/(arctan(1/n) - log(1+1/n))^(-a) to 1/0 to +infty$
per $n to + infty$, quindi, la C.N. non è verificata.Dall'osservazione precedente, il caso di interesse è $a>0$. (Non capisco perché abbia distinto caso pari e dispari nel messaggio iniziale, tutta colpa di wikipedia e del piatto di pasta che stava chiamando
, e oltre alla mia ignoranza )Ora dovrei andare al punto successivo, dove le maggiorazioni dovrebbe continuare a valere, quindi, se tutto ha senso, si ha la convergenza della seria data.
La somma non è quella che ho detto.
Saluti
Brevemente: non puoi fermarti al primo ordine nello sviluppo in serie, altrimenti hai una cancellazione!
Posto per comodità $u := 1/n $, sviluppando in serie si ha:
$arctan u - log(1 + u) = u^2/2 - (2u^3)/3 + O(u^4) $
Pertanto la serie proposta si comporta come la seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}) \cdot 1/(2^a n^{2a}) = 1/(2^a) \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} \sqrt{n}(\sqrt{1 + 2/n} - 1) \cdot 1/(n^{2a}) = $
$ = 1/(2^a) \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} (\sqrt{1 + 2/n} - 1) \cdot 1/(n^{2a - 1/2}) $
A questo punto, facendo uso del limite notevole $\lim_{t \to 0} ((1 +t)^p - 1)/t = p $ ove nel caso in esame $t := 2u = 2/n $ e $p = 1/2 $, dovresti riuscire a concludere...
Posto per comodità $u := 1/n $, sviluppando in serie si ha:
$arctan u - log(1 + u) = u^2/2 - (2u^3)/3 + O(u^4) $
Pertanto la serie proposta si comporta come la seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}) \cdot 1/(2^a n^{2a}) = 1/(2^a) \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} \sqrt{n}(\sqrt{1 + 2/n} - 1) \cdot 1/(n^{2a}) = $
$ = 1/(2^a) \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} (\sqrt{1 + 2/n} - 1) \cdot 1/(n^{2a - 1/2}) $
A questo punto, facendo uso del limite notevole $\lim_{t \to 0} ((1 +t)^p - 1)/t = p $ ove nel caso in esame $t := 2u = 2/n $ e $p = 1/2 $, dovresti riuscire a concludere...
Non capisco, perché le stime asintotiche non vanno bene ?
Te l'ho già spiegato: perché c'è una differenza fra infinitesimi e si ha una cancellazione al primo ordine, quindi devi proseguire fino al secondo ordine per avere una stima corretta di quell'infinitesimo. La stima asintotica corretta è la seguente:
[tex]\arctan u - \log(1 + u) \sim \frac{u^2}{2}[/tex]
D'altronde, se il tuo ragionamento fosse corretto si avrebbe
$\lim_{u \to 0} (arctan u - log(1 + u))/(u^2) = 0 $
che invece è falso perché in realtà si ha:
$\lim_{u \to 0} (arctan u - log(1 + u))/(u^2) = 1/2 $
[tex]\arctan u - \log(1 + u) \sim \frac{u^2}{2}[/tex]
D'altronde, se il tuo ragionamento fosse corretto si avrebbe
$\lim_{u \to 0} (arctan u - log(1 + u))/(u^2) = 0 $
che invece è falso perché in realtà si ha:
$\lim_{u \to 0} (arctan u - log(1 + u))/(u^2) = 1/2 $
Dato che è passata una settimana e l'OP non ha più risposto, mi accingo a completare l'esercizio, perché non vorrei che avesse erroneamente inteso che la serie proposta converga per $a > 0 $ (come pare dal suo penultimo post). Infatti dal limite notevole
si ottiene la stima asintotica seguente:
[tex]\bigg(\sqrt{1 + \frac{2}{n}} - 1 \bigg) \sim \frac{1}{n}[/tex]
Pertanto la serie proposta si comporta come la seguente:
$ 1/(2^a) \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n)/(n^{2a - 1/2}) = 1/(2^a) \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^{2a - 1/2 + 1}) $
L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata, che converge se $ 2a - 1/2 + 1 > 1 \iff a > 1/4 $
"pilloeffe":
$ \lim_{t \to 0} ((1 +t)^p - 1)/t = p $ ove nel caso in esame $t := 2u = 2/n $ e $p = 1/2 $
si ottiene la stima asintotica seguente:
[tex]\bigg(\sqrt{1 + \frac{2}{n}} - 1 \bigg) \sim \frac{1}{n}[/tex]
Pertanto la serie proposta si comporta come la seguente:
$ 1/(2^a) \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n)/(n^{2a - 1/2}) = 1/(2^a) \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^{2a - 1/2 + 1}) $
L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata, che converge se $ 2a - 1/2 + 1 > 1 \iff a > 1/4 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo