Serie numeriche
Salve ragazzi volevo sapere se i passaggi per risolvere la seguente serie fossero corretti:
$ sum_(n = \1) ((n^alpha)/2*(sqrt((n+1)/(n+2))-1 ))^n $ con $ alpha in R $
Ho applicato il criterio della radice trovandomi un espressione come:
$ sum_(n = \1) ((n^alpha)/2*(sqrt((n+1)/(n+2))-1 )) $
E a questo punto ho cercato di ricondurmi al limite notevole (per la parentesi):
$ lim_(f(x) -> +infty) ((1+f(x))^c-1)/(f(x))=c $
E sono arrivato a questo risultato:
$ lim_(n -> +infty) (n^alpha)/2 *((1+(1)/(n+1))^(1/2)-1) $
Quindi utilizzando il limite notevole sono arrivato a:
$ lim_(n -> +infty) (n^alpha)/2 *(((1+(1)/(n+1))^(1/2)-1)/(1/(n+1))*1/(n+1)) $
Ora però mi trovo un'altra forma indeterminata $ 0*infty $ e non so come proseguire. Non capisco se sto sbagliando completamente strada oppure no.
$ sum_(n = \1) ((n^alpha)/2*(sqrt((n+1)/(n+2))-1 ))^n $ con $ alpha in R $
Ho applicato il criterio della radice trovandomi un espressione come:
$ sum_(n = \1) ((n^alpha)/2*(sqrt((n+1)/(n+2))-1 )) $
E a questo punto ho cercato di ricondurmi al limite notevole (per la parentesi):
$ lim_(f(x) -> +infty) ((1+f(x))^c-1)/(f(x))=c $
E sono arrivato a questo risultato:
$ lim_(n -> +infty) (n^alpha)/2 *((1+(1)/(n+1))^(1/2)-1) $
Quindi utilizzando il limite notevole sono arrivato a:
$ lim_(n -> +infty) (n^alpha)/2 *(((1+(1)/(n+1))^(1/2)-1)/(1/(n+1))*1/(n+1)) $
Ora però mi trovo un'altra forma indeterminata $ 0*infty $ e non so come proseguire. Non capisco se sto sbagliando completamente strada oppure no.
Risposte
La strada che hai scelto funziona, ma ci sono un po' di errori di calcolo. Hai che:
$$\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}-1=\sqrt{\frac{n+2-1}{n+2}}-1=\sqrt{1-\frac{1}{n+2}}-1=\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{1/2}-1$$
Inoltre, qui:
Quel limite vale per $f(x) \to 0$, non per $f(x) \to \infty$. Perciò, dato che $-\frac{1}{n+2} \to 0$ per $n\to\infty$, risulta:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{1/2}-1}{-\frac{1}{n+2}}=1/2$$
E perciò ci interessa stabilire solo chi è:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^\alpha}{2} \cdot \left(-\frac{1}{n+2}\right)$$
Il problema che hai con la forma indeterminata si aggira velocemente, è una tecnica standard per i limiti. Se $\alpha>0$, è:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^\alpha}{2} \cdot \left(-\frac{1}{n+2}\right)=\lim_{n \to \infty} \frac{n^\alpha}{2} \cdot \left[-\frac{1}{n(1+2/n)}\right]=\lim_{n \to \infty} \frac{n^{\alpha-1}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{1+2/n}\right)$$
e ora discuti il limite al variare di $\alpha>0$. Se $\alpha \le 0$, non hai neanche forme indeterminate.
$$\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}-1=\sqrt{\frac{n+2-1}{n+2}}-1=\sqrt{1-\frac{1}{n+2}}-1=\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{1/2}-1$$
Inoltre, qui:
"luca97__":
E a questo punto ho cercato di ricondurmi al limite notevole (per la parentesi):
$ lim_(f(x) -> +infty) ((1+f(x))^c-1)/(f(x))=c $
Quel limite vale per $f(x) \to 0$, non per $f(x) \to \infty$. Perciò, dato che $-\frac{1}{n+2} \to 0$ per $n\to\infty$, risulta:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{1/2}-1}{-\frac{1}{n+2}}=1/2$$
E perciò ci interessa stabilire solo chi è:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^\alpha}{2} \cdot \left(-\frac{1}{n+2}\right)$$
Il problema che hai con la forma indeterminata si aggira velocemente, è una tecnica standard per i limiti. Se $\alpha>0$, è:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^\alpha}{2} \cdot \left(-\frac{1}{n+2}\right)=\lim_{n \to \infty} \frac{n^\alpha}{2} \cdot \left[-\frac{1}{n(1+2/n)}\right]=\lim_{n \to \infty} \frac{n^{\alpha-1}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{1+2/n}\right)$$
e ora discuti il limite al variare di $\alpha>0$. Se $\alpha \le 0$, non hai neanche forme indeterminate.
"Mephlip":
La strada che hai scelto funziona, ma ci sono un po' di errori di calcolo. Hai che:
$$\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}-1=\sqrt{\frac{n+2-1}{n+2}}-1=\sqrt{1-\frac{1}{n+2}}-1=\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{1/2}-1$$
Inoltre, qui:
[quote="luca97__"]
E a questo punto ho cercato di ricondurmi al limite notevole (per la parentesi):
$ lim_(f(x) -> +infty) ((1+f(x))^c-1)/(f(x))=c $
Quel limite vale per $f(x) \to 0$, non per $f(x) \to \infty$. Perciò, dato che $-\frac{1}{n+2} \to 0$ per $n\to\infty$, risulta:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{1/2}-1}{-\frac{1}{n+2}}=1/2$$
E perciò ci interessa stabilire solo chi è:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^\alpha}{2} \cdot \left(-\frac{1}{n+2}\right)$$
Il problema che hai con la forma indeterminata si aggira velocemente, è una tecnica standard per i limiti. Se $\alpha>0$, è:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^\alpha}{2} \cdot \left(-\frac{1}{n+2}\right)=\lim_{n \to \infty} \frac{n^\alpha}{2} \cdot \left[-\frac{1}{n(1+2/n)}\right]=\lim_{n \to \infty} \frac{n^{\alpha-1}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{1+2/n}\right)$$
e ora discuti il limite al variare di $\alpha>0$. Se $\alpha \le 0$, non hai neanche forme indeterminate.[/quote]
Grazie mille a questo punto è chiaro, mi sono perso nel confondere il limite notevole per n che tende a 0 e per n che tende a +inf.
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Ciao luca97__,
Solo qualche osservazione.
Sei sicuro del testo?
Perché così com'è scritta la serie parametrica proposta non è a termini positivi, perché ovviamente $\AA n $ si ha:
$ \sqrt((n+1)/(n+2)) - 1 < 0 $
Quindi, se così è, a rigore andrebbe prima studiata la convergenza della serie assoluta (che come forse già sai implica poi quella semplice, mentre non è vero il viceversa: $\sum_{n = 1}^{+\infty}(-1)^n/n $ converge, mentre la serie assoluta $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n $ è la serie armonica notoriamente positivamente divergente).
Sarebbe invece a termini positivi scambiando numeratore e denominatore:
$ \sqrt((n+2)/(n+1)) - 1 > 0 $
Questo è un errore piuttosto grave che ad un esame potrebbe costarti molto caro... Quando applichi il criterio della radice (alla serie assoluta nel caso in esame) il calcolo è il seguente:
[tex]\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^\alpha}{2}\bigg|\sqrt{\frac{n+1}{n+2}} -1\bigg| = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^\alpha}{4} \frac{1}{n(1 + \frac{2}{n})} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^{\alpha - 1}}{4} \frac{1}{1 + \frac{2}{n}}[/tex]
A questo punto dovrebbe esserti chiaro che siccome la seconda frazione che compare nel limite tende a $1$, l'unica possibilità che il limite risulti $l < 1 $ è che sia $\alpha - 1 \le 0 \iff \alpha \le 1 $
Solo qualche osservazione.
"luca97__":
Salve ragazzi volevo sapere se i passaggi per risolvere la seguente serie fossero corretti:
$ \sum_(n = 1) ((n^alpha)/2*(sqrt((n+1)/(n+2))-1 ))^n $ con $\alpha \in R$
Sei sicuro del testo?
Perché così com'è scritta la serie parametrica proposta non è a termini positivi, perché ovviamente $\AA n $ si ha:
$ \sqrt((n+1)/(n+2)) - 1 < 0 $
Quindi, se così è, a rigore andrebbe prima studiata la convergenza della serie assoluta (che come forse già sai implica poi quella semplice, mentre non è vero il viceversa: $\sum_{n = 1}^{+\infty}(-1)^n/n $ converge, mentre la serie assoluta $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n $ è la serie armonica notoriamente positivamente divergente).
Sarebbe invece a termini positivi scambiando numeratore e denominatore:
$ \sqrt((n+2)/(n+1)) - 1 > 0 $
"luca97__":
Ho applicato il criterio della radice trovandomi un espressione come:
$ \sum_(n = 1) ((n^\alpha)/2*(\sqrt((n+1)/(n+2))-1 )) $
Questo è un errore piuttosto grave che ad un esame potrebbe costarti molto caro... Quando applichi il criterio della radice (alla serie assoluta nel caso in esame) il calcolo è il seguente:
[tex]\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^\alpha}{2}\bigg|\sqrt{\frac{n+1}{n+2}} -1\bigg| = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^\alpha}{4} \frac{1}{n(1 + \frac{2}{n})} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^{\alpha - 1}}{4} \frac{1}{1 + \frac{2}{n}}[/tex]
A questo punto dovrebbe esserti chiaro che siccome la seconda frazione che compare nel limite tende a $1$, l'unica possibilità che il limite risulti $l < 1 $ è che sia $\alpha - 1 \le 0 \iff \alpha \le 1 $
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