Serie Numeriche
Ciao a tutti!
1) Vorrei chiedervi come è possibile risolvere il limite della sommatoria:
$ sum_(n = \1 )^(+oo) [(n!) / [e^(n^2)]] $
So come calcolare il carattere: utilizzando il criterio del rapporto.
Il mio problema sta nel fatto che non so come calcolare la possibilità di convergenza, ossia:
$ lim_(x -> +oo ) [(n!) / [e^(n^2)]] $
2) Riferendomi alla prima domanda, vorrei anche chiedervi se è necessario, nel calcolo delle somme numeriche, calcolare il $ lim_(x -> +oo ) $ anche se si conosce già il carattere di quest'ultima.
Il nostro professore ha spiegato il procedimento (prima calcoli il limite, dopo il carattere della serie) anche se non mi sembra molto sensato.
Grazie mille in anticipo!
1) Vorrei chiedervi come è possibile risolvere il limite della sommatoria:
$ sum_(n = \1 )^(+oo) [(n!) / [e^(n^2)]] $
So come calcolare il carattere: utilizzando il criterio del rapporto.
Il mio problema sta nel fatto che non so come calcolare la possibilità di convergenza, ossia:
$ lim_(x -> +oo ) [(n!) / [e^(n^2)]] $
2) Riferendomi alla prima domanda, vorrei anche chiedervi se è necessario, nel calcolo delle somme numeriche, calcolare il $ lim_(x -> +oo ) $ anche se si conosce già il carattere di quest'ultima.
Il nostro professore ha spiegato il procedimento (prima calcoli il limite, dopo il carattere della serie) anche se non mi sembra molto sensato.
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Ciao, benvenuto sul forum!
(1) Un modo è il seguente. Nota che, per $x>0$, è $x=e^{\log x}$. Quindi:
$$0 \le \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{e^{n^2}}=\lim_{n \to \infty} \frac{e^{\log n!}}{e^{n^2}}=\lim_{n \to \infty} e^{\log n!-n^2}$$
Risulta che $n! \le n^n$ per ogni $n \ge 1$ (lo puoi dimostrare per induzione), pertanto hai che:
$$\lim_{n \to \infty} e^{\log n!-n^2} \le \lim_{n \to \infty} e^{n \log n-n^2}$$
Ma $\lim_{n \to \infty} (n\log n-n^2)=-\infty$, perciò $\lim_{n \to \infty} e^{n \log n-n^2}=0$ e quindi, per il teorema dei due carabinieri, concludi che $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{e^{n^2}}=0$.
Questo è il tuo primo messaggio qui e quindi ti ho scritto uno svolgimento completo e più o meno dettagliato, ma sappi che in generale richiediamo un tentativo di svolgimento quando si propongono degli esercizi/dubbi.
Se non l'hai già letto, qui poi leggere il regolamento del forum per esteso.
(2) Non è obbligatorio calcolare prima il limite relativo alla condizione necessaria di convergenza. Essa, solitamente, si usa per dimostrare che una serie non converge. Se $\lim_{n \to \infty} a_n$ non è $0$ (ossia o è un numero reale diverso da $0$, o è $\infty$, o è $-\infty$ o non esiste), allora la serie non converge. Se usi un criterio qualunque e dimostri la convergenza, è finita lì. Insomma, dipende un po' dai casi: delle volte è molto più rapido e conveniente calcolare il limite e dedurre la non convergenza, altre volte è più semplice calcolare i limiti dati dai vari criteri o procedere con disuguaglianze per dimostrare la convergenza con i teoremi di confronto. Solo l'esperienza e l'intuito possono darti un modo per discriminare gli approcci migliori da quelli farraginosi.
Infine, un paio di consigli sul linguaggio: i limiti non si risolvono, si calcolano. Non è "calcolare la possibilità di convergenza" di convergenza, ma è "verificare la condizione necessaria di convergenza". Il linguaggio è importante, soprattutto in sede di esame.
(1) Un modo è il seguente. Nota che, per $x>0$, è $x=e^{\log x}$. Quindi:
$$0 \le \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{e^{n^2}}=\lim_{n \to \infty} \frac{e^{\log n!}}{e^{n^2}}=\lim_{n \to \infty} e^{\log n!-n^2}$$
Risulta che $n! \le n^n$ per ogni $n \ge 1$ (lo puoi dimostrare per induzione), pertanto hai che:
$$\lim_{n \to \infty} e^{\log n!-n^2} \le \lim_{n \to \infty} e^{n \log n-n^2}$$
Ma $\lim_{n \to \infty} (n\log n-n^2)=-\infty$, perciò $\lim_{n \to \infty} e^{n \log n-n^2}=0$ e quindi, per il teorema dei due carabinieri, concludi che $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{e^{n^2}}=0$.
Questo è il tuo primo messaggio qui e quindi ti ho scritto uno svolgimento completo e più o meno dettagliato, ma sappi che in generale richiediamo un tentativo di svolgimento quando si propongono degli esercizi/dubbi.
Se non l'hai già letto, qui poi leggere il regolamento del forum per esteso.
(2) Non è obbligatorio calcolare prima il limite relativo alla condizione necessaria di convergenza. Essa, solitamente, si usa per dimostrare che una serie non converge. Se $\lim_{n \to \infty} a_n$ non è $0$ (ossia o è un numero reale diverso da $0$, o è $\infty$, o è $-\infty$ o non esiste), allora la serie non converge. Se usi un criterio qualunque e dimostri la convergenza, è finita lì. Insomma, dipende un po' dai casi: delle volte è molto più rapido e conveniente calcolare il limite e dedurre la non convergenza, altre volte è più semplice calcolare i limiti dati dai vari criteri o procedere con disuguaglianze per dimostrare la convergenza con i teoremi di confronto. Solo l'esperienza e l'intuito possono darti un modo per discriminare gli approcci migliori da quelli farraginosi.
Infine, un paio di consigli sul linguaggio: i limiti non si risolvono, si calcolano. Non è "calcolare la possibilità di convergenza" di convergenza, ma è "verificare la condizione necessaria di convergenza". Il linguaggio è importante, soprattutto in sede di esame.
$ lim_(x -> +oo ) n^n/e^n * sqrt(2pin)/e^(n^2) $Grazie mille per la risposta lunga e dettagliata, apprezzo molto i consigli.
1) Avevo provato a risolvere il primo dicendo che $ n! $ ~ $ n^n/e^n * sqrt(2pin) $ ma non ero riuscito a calcolare il limite.
Mi rimaneva:
$ lim_(x -> +oo ) n^n/e^n * sqrt(2pin)/e^(n^2) $
e poi:
$ lim_(x -> +oo ) (e^(log(2pin)-n^2)*n^n/e^n) $
dicendo che
$ e^(log(2pin)-n^2) $ ~ $ -n^2 $
(non so nemmeno se si possa fare quello che ho appena fatto)
quindi rimane:
$ lim_(x -> +oo) n^n/e^n * e^-n $
e quindi portando al denominatore
$ lim_(x -> +oo) n^n/e^(n^2) $
Ho concluso dicendo che, per via della gerarchia degli infiniti, il limite tende a 0,
dato che $ e^(n^2) $ >> $ n^n $ il denominatore cresce a + $ oo $ più velocemente..
Però guardando la tua procedura ho notato che avrei potuto utilizzare, arrivato a
$ lim_(x -> +oo ) e^log(n!)/e^(n^2) $
avrei potuto dire che $ log(n!) ~ nlogn-n $
quindi
$ lim_(x -> +oo) e^(n*logn-n^2) $
quindi raggruppando la $ n^2 $ al numeratore viene:
$ e^(n^2(logn/n-2)) $
dicendo che $ n $ >> $ logn $
allora $ logn/n $ tende a $ +oo $ .
Quindi rimane solo:
$ e^(-2n^2) $
$ 1/e^(2n^2) $ e quindi $ 1/(+oo) -> 0 $
Andava bene comunque questo procedimento per calcolare il limite?
Credo fosse questo perché il professore a lezione aveva spiegato Stirling.
2) Quindi posso semplicemente passare a risolvere la serie applicando il criterio del rapporto o quello che ritengo sia più opportuno senza dover risolvere il $ lim_(x -> +oo ) $ della serie?
3) Vorrei anche chiederti la differenza nella consegna degli esercizi tra "studiare il comportamento della serie" e "determinare il carattere della seguente serie".
1) Avevo provato a risolvere il primo dicendo che $ n! $ ~ $ n^n/e^n * sqrt(2pin) $ ma non ero riuscito a calcolare il limite.
Mi rimaneva:
$ lim_(x -> +oo ) n^n/e^n * sqrt(2pin)/e^(n^2) $
e poi:
$ lim_(x -> +oo ) (e^(log(2pin)-n^2)*n^n/e^n) $
dicendo che
$ e^(log(2pin)-n^2) $ ~ $ -n^2 $
(non so nemmeno se si possa fare quello che ho appena fatto)
quindi rimane:
$ lim_(x -> +oo) n^n/e^n * e^-n $
e quindi portando al denominatore
$ lim_(x -> +oo) n^n/e^(n^2) $
Ho concluso dicendo che, per via della gerarchia degli infiniti, il limite tende a 0,
dato che $ e^(n^2) $ >> $ n^n $ il denominatore cresce a + $ oo $ più velocemente..
Però guardando la tua procedura ho notato che avrei potuto utilizzare, arrivato a
$ lim_(x -> +oo ) e^log(n!)/e^(n^2) $
avrei potuto dire che $ log(n!) ~ nlogn-n $
quindi
$ lim_(x -> +oo) e^(n*logn-n^2) $
quindi raggruppando la $ n^2 $ al numeratore viene:
$ e^(n^2(logn/n-2)) $
dicendo che $ n $ >> $ logn $
allora $ logn/n $ tende a $ +oo $ .
Quindi rimane solo:
$ e^(-2n^2) $
$ 1/e^(2n^2) $ e quindi $ 1/(+oo) -> 0 $
Andava bene comunque questo procedimento per calcolare il limite?
Credo fosse questo perché il professore a lezione aveva spiegato Stirling.
2) Quindi posso semplicemente passare a risolvere la serie applicando il criterio del rapporto o quello che ritengo sia più opportuno senza dover risolvere il $ lim_(x -> +oo ) $ della serie?
3) Vorrei anche chiederti la differenza nella consegna degli esercizi tra "studiare il comportamento della serie" e "determinare il carattere della seguente serie".
Prego!
(1) Il problema è che la sostituzione con le stime asintotiche è molto pericolosa, se non le si sa usare bene. Un primo errore che vedo (ma che non è necessariamente compromettente) è che $\sqrt{2\pi n}=e^{\log \sqrt{2\pi n}}=e^{\log(2\pi n)^{1/2}}=e^{\frac{1}{2}\log(2\pin)}$; ti sei perso un coefficiente $1/2$.
Inoltre, questo:
è falso. Il simbolo $\approx$ significa che il limite del rapporto tra le due successioni è $1$. Ma:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{e^{\log(2\pi n)-n^2}}{-n^2}=0$$
quindi tutto il ragionamento successivo è compromesso. Tuttavia, continuo a leggere perché ci sono altre cose da sistemare e non voglio che tu prosegua con convinzioni errate.
Questo:
è vero, infatti $\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n!)}{n\log n-n}=1$.
Purtroppo, questo:
Ossia la sostituzione della stima asintotica nell'esponente dell'esponenziale, è falso. In pratica, stai proponendo un teorema del tipo "se $a_n \approx c_n$ allora $e^{a_n-b_n} \approx e^{c_n-b_n}$". Ma ciò non è vero, perché se prendi $a_n=n+\log n$ e $c_n=n$, si ha $a_n \approx c_n$ perché $\lim_{n \to \infty} \frac{n+\log n}{n}=1$, ma è:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{e^{n+\log n-b_n}}{e^{n-b_n}}=\lim_{n \to \infty} e^{\log n}=\lim_{n \to \infty} n=\infty$$
nel nostro caso, sono $a_n=log(n!)$, $b_n=n^2$ e $c_n=n\log n -n$; ma, come vedi dal calcolo, è falso qualsiasi sia $b_n$ visto che il rapporto è indipendente da $b_n$.
Tra l'altro, ti servirebbe anche un teorema che ti garantisca l'uguaglianza dei limiti una volta dimostrata la stima asintotica; nel caso di somme tra i termini di un rapporto è immediato dimostrarlo, in casi più complicati non è così ovvio o potrebbe essere addirittura falso (come in questo caso per gli esponenti degli esponenziali). Insomma, questo approccio è un po' rischioso se non lo si sa controllare.
(2) Sì. Di nuovo: "calcolare il limite", non "risolvere il limite".
(3) Sono sinonimi. In entrambi i casi, si chiede di stabilire se la serie converge, diverge o è irregolare.
(1) Il problema è che la sostituzione con le stime asintotiche è molto pericolosa, se non le si sa usare bene. Un primo errore che vedo (ma che non è necessariamente compromettente) è che $\sqrt{2\pi n}=e^{\log \sqrt{2\pi n}}=e^{\log(2\pi n)^{1/2}}=e^{\frac{1}{2}\log(2\pin)}$; ti sei perso un coefficiente $1/2$.
Inoltre, questo:
"StrilingAlQuadrato":
dicendo che
$ e^(log(2pin)-n^2) $ ~ $ -n^2 $
(non so nemmeno se si possa fare quello che ho appena fatto)
è falso. Il simbolo $\approx$ significa che il limite del rapporto tra le due successioni è $1$. Ma:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{e^{\log(2\pi n)-n^2}}{-n^2}=0$$
quindi tutto il ragionamento successivo è compromesso. Tuttavia, continuo a leggere perché ci sono altre cose da sistemare e non voglio che tu prosegua con convinzioni errate.
Questo:
"StrilingAlQuadrato":
avrei potuto dire che $ log(n!) ~ nlogn-n $
è vero, infatti $\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n!)}{n\log n-n}=1$.
Purtroppo, questo:
"StrilingAlQuadrato":
quindi
$ lim_(x -> +oo) e^(n*logn-n^2) $
Ossia la sostituzione della stima asintotica nell'esponente dell'esponenziale, è falso. In pratica, stai proponendo un teorema del tipo "se $a_n \approx c_n$ allora $e^{a_n-b_n} \approx e^{c_n-b_n}$". Ma ciò non è vero, perché se prendi $a_n=n+\log n$ e $c_n=n$, si ha $a_n \approx c_n$ perché $\lim_{n \to \infty} \frac{n+\log n}{n}=1$, ma è:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{e^{n+\log n-b_n}}{e^{n-b_n}}=\lim_{n \to \infty} e^{\log n}=\lim_{n \to \infty} n=\infty$$
nel nostro caso, sono $a_n=log(n!)$, $b_n=n^2$ e $c_n=n\log n -n$; ma, come vedi dal calcolo, è falso qualsiasi sia $b_n$ visto che il rapporto è indipendente da $b_n$.
Tra l'altro, ti servirebbe anche un teorema che ti garantisca l'uguaglianza dei limiti una volta dimostrata la stima asintotica; nel caso di somme tra i termini di un rapporto è immediato dimostrarlo, in casi più complicati non è così ovvio o potrebbe essere addirittura falso (come in questo caso per gli esponenti degli esponenziali). Insomma, questo approccio è un po' rischioso se non lo si sa controllare.
(2) Sì. Di nuovo: "calcolare il limite", non "risolvere il limite".
(3) Sono sinonimi. In entrambi i casi, si chiede di stabilire se la serie converge, diverge o è irregolare.
Grazie mille 
Ciao StrilingAlQuadrato,
Per fare meno calcoli si può anche osservare che si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (n!)/e^{n^2} < \sum_{n = 1}^{+\infty} (2^{n^2})/e^{n^2} = \sum_{n = 1}^{+\infty} (2/e)^{n^2} $
ove si è fatto uso della disuguaglianza $n! < 2^{n^2} $, che si prova facilmente assodato che vale $n < 2^n $: $ n! = n(n - 1)(n - 2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 < n^n < (2^n)^n = 2^{n^2} $
Dato poi che $2/e < 1 $ si ha subito $\lim_{n \to +\infty} (2/e)^{n^2} = 0 $
Per fare meno calcoli si può anche osservare che si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (n!)/e^{n^2} < \sum_{n = 1}^{+\infty} (2^{n^2})/e^{n^2} = \sum_{n = 1}^{+\infty} (2/e)^{n^2} $
ove si è fatto uso della disuguaglianza $n! < 2^{n^2} $, che si prova facilmente assodato che vale $n < 2^n $: $ n! = n(n - 1)(n - 2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 < n^n < (2^n)^n = 2^{n^2} $
Dato poi che $2/e < 1 $ si ha subito $\lim_{n \to +\infty} (2/e)^{n^2} = 0 $
Scusate se salto tutta la discussione (non ho letto nulla). Volevo solo fare un commento rapido qui:
Se già conosci il carattere di una serie, in particolare sai che il termine generale tende a zero. Questo è un teorema che hai sicuramente visto e ti conviene capire la dimostrazione per bene. Calcolare il limite direttamente può essere un utile esercizio accademico, ma è ridondante.
Anzi, in certi casi il modo migliore di stabilire che una successione tende a zero è proprio studiare la convergenza della serie. Questo vale per serie numeriche ma anche in contesti più generali (spazi di Banach).
"StrilingAlQuadrato":
[...]
So come calcolare il carattere: utilizzando il criterio del rapporto.
[...]
2) Riferendomi alla prima domanda, vorrei anche chiedervi se è necessario, nel calcolo delle somme numeriche, calcolare il $ lim_(x -> +oo ) $ anche se si conosce già il carattere di quest'ultima.
Se già conosci il carattere di una serie, in particolare sai che il termine generale tende a zero. Questo è un teorema che hai sicuramente visto e ti conviene capire la dimostrazione per bene. Calcolare il limite direttamente può essere un utile esercizio accademico, ma è ridondante.
Anzi, in certi casi il modo migliore di stabilire che una successione tende a zero è proprio studiare la convergenza della serie. Questo vale per serie numeriche ma anche in contesti più generali (spazi di Banach).
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