Analisi matematica di base

Salve a tutti. Qualche ora fa la professoressa ha introdotto il teorema di derivazione di funzioni composte (dopo aver parlato del jacobiano (o matrice jacobiana, per me sono equivalenti anche se la nomenclatura non è unica)). Sarò sincero: non mi è tutto completamente chiaro , e per questo vorrei sapere se questo esercizio che ha lasciato vada svolto nel modo in cui io lo ho svolto (ne dubito fortemente): Sia $\gamma : I \sube \RR \to \RR^k$, derivabile. Sia $g : \RR^k \to \RR^d$ e chiedo che lei sia ...

Ho studiato il dominio della seguente funzione : $ f(x,y)= sqrt(y^2-x^2)+log(1-x^2-y^2) $ $ { ( y^2-x^2>=0 ),( 1-x^2-y^2>0 ):} $ Da cui ho le due condizioni $ { ( y<=-x uu y>=x ),( x^2+y^2<1 ):} $ La seconda disequazione mi fornisce una condizione geometrica dettata dalla conica: circonferenza di cui se ne considera l'interno MA non l'esterno ed il bordo. Il problema si ha con la 1° disequazione: considerate le bisettrici $y=x$ ed $y=-x$ , teoricamente : il dominio che si ottiene dovrebbero essere "i due spicchi verticali del ...

Buonasera, sto cercando di risolvere questa equazione ma non riesco a capire come trovarmi il risultato che dovrebbe essere $x=0,52$ l'equazione è la seguente: $x^(1,08)(0,8+1,3x)=720$ qualcuno potrebbe darmi un'aiuto sulla risoluzione, graziee!!

Salve a tutti avrei un problema a capire un passaggio che la mia professoressa ha usato più volte nella risoluzione di limiti (in altre rare occasioni): Prendiamo ad esempio l'esercizio: $\lim_{x,y\ to 0,0} \frac{x^(4/3) y(1+x)}{x^2+y^2}$ Cerchiamo il possibile candidato: $f(x,0) = 0, AA x \in \RR-\{0\}$ $f(0,y) = 0, AA y \in \RR-\{0\}$ Dunque possiamo dire che se il limite esiste allora vale $0$ Procediamo a maggiorare l'argomento del limite e vedere se il limite è $0$ e così usare infine il teorema dei carabinieri. Usiamo la ...

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico dove $d$ è la distanza discreta, determinare gli aperti di $X$. Prendendo la definizione: $AsubeX$ è aperto se $AAx_0inA$ $EEr>0$ tale che $B(x_0,r)subeA$. Sia $A$ un sottoinsieme di $X$ prendo in particolare $0<r<1$ abbiamo che $B(x_0,r)={x inX| d(x,x_0)<r}$ quindi $d(x,x_0)<r<1$ ma allora $B(x_0,r)={x_0}$ e siccome $x_0inA$ allora $B(x_0,r)subeA$ e ...

Siano $t>0$ e $\gamma>0$ reali e la funzione $h(t)=(1+t^\gamma)/(1+t^2)^(\gamma/2)$. Osservare che $h$ ha minimo e massimo positivi. Allora innanzitutto siccome $t>0$ allora $h(t)>0$ per ogni $t$. Inoltre ho notato che i limiti per $0,+\infty$ sono entrambi $1$ e che se $0< \gamma<2$ allora $h$ ha un massimo (maggiore di $1$) in $t=1$, mentre se $\gamma>2$ ha un minimo ...

Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto con questo esercizio: Chiede di determinare una parametrizzazione della curva chiusa $\gamma$ che si ottiene percorrendo prima da sinistra verso destra il grafico della funzione $f(x) = (1/3) (2x-1)^{3/2}, 1/2 <= x <= 1$e poi da destra a sinistra il segmento congiungente gli estremi del grafico di f stessa. Disegnare quindi il sostegno della curva e infine la lunghezza. (Sidequest: stabilire se la curva è semplice). Non so bene come trovare una parametrizzazione, tuttavia ...

Ciao a tutti, ho provato a risolvere questo esercizio: Siano $A,B\in\mathbb{R}_+$ ($\mathbb{R}_+$ contiene lo zero) non-vuoti. Provare che $\text{inf}(AB)=\text{inf}(A)\cdot\text{inf}(B)$. [Notazione: moltiplicazioni insieme-insieme o scalare-insieme si intendono elemento per elemento.] La mia soluzione. Gli insiemi sono inferiormente limitati quindi esistono $\text{inf}(A),\text{inf}(B)$ reali, finiti. Se $0\in A$ oppure $0\in B$, allora $0\in A\cdot B$ e non c'è niente da dimostrare. Se $A$ e ...

Ciao a tutti. Calcolando la lunghezza di una curva in un esercizio, mi sono ritrovato a dover calcolare il seguente integrale: $\int_0^(2\pi) \sqrt(1+\cos t) dt $ Che ho risolto utilizzando la formula di bisezione del coseno: $\cos(t/2)=\pm\sqrt((1+\cos t)/(2))$ Da cui si ottiene: $\int_0^(2\pi) \sqrt(1+\cos t) \ dt = \int_0^(2\pi) \sqrt(2)|\cos(t/2)| dt$ giungendo al risultato con facili conti. La mia domanda è questa: si poteva risolvere anche in un altro modo, che non chieda di utilizzare la bisezione del coseno? Perché, obiettivamente, mi rendo conto che non tutti gli studenti ...

Salve a tutti, oggi abbiamo affrontato i limiti in due variabili e anche i limiti in coordinate polari e avrei alcune domande: Volevo chiedere innanzitutto se questo procedimento è corretto (sappiamo già che il limite non esiste però la professoressa ha detto di provare a svolgerlo in coordinate polari per esercizio): $\lim_{(x,y)\ to \vec 0} \frac{x^2y}{x^4+y^2}$ Fatta la trasformazione in coordinate polari arrivo a: $\lim_{\rho \to 0^+} \rho \frac{cos^\theta sin\theta}{\rho^2 cos^4\theta +sin^2\theta}$ Adesso se ho capito bene la strategia, se chiamo $a(\rho,\theta) = \frac{cos^\theta sin\theta}{\rho^2 cos^4\theta +sin^2\theta} $ e mostro poi che ...

[regolamento]1[/regolamento]Ho questo esercizio da svolgere (cioè l'ho svolto e vorrei sapere se c'è qualche errore nelle mie conclusioni): Dice di disegnare nel piano i seguenti insiemi e dire se sono chiusi, aperti e/o limitati (nel caso fossero limitati trovare una parametrizzazione della frontiera): $A_1 = \{(x,y) \in \RR^2 " : "|x-1|+|y+3| <=2 \} $ $A_2 = \{(x,y) \in \RR^2 " : "x^2+16y^2 <16 \}$ $ A_3 =\{(x,y) \in \RR^2 " : " log(|x|+1)-y >=0 \^^ |y+3| <1 \}$ Dopo una lunga sessione di disegno sono giunto a queste conclusioni: $A_1$: non è limitato, né chiuso né ...

Ciao, dato $ N = { nin N , n >= 1 } $ $ m,n in N $ sup al variare di m ( inf al variare di n ( $ 2^(m-n) $ ) = sup al variare di m (0) = 0 Non capisco perche l'inf diventa 0. Anche anche attribuendo a m,n i valori minimi o massimi, non si ottiene 1? Grazie

Buongiorno ragazzi, mi viene chiesto di svolgere il seguente esercizio: Calcolare il volume del cono $C = {(x,y,z) : 0 \le z \le 1 - sqrt(x^2+y^2), x^2+y^2 \le 1}$. Ho bisogno di capire se la mia risoluzione è corretta: Ho considerato come dominio di variazione delle variabili $x$ e $y$ il cerchio unitario centrato nell'origine $(D = x^2 + y^2 \le 1)$ e come funzione integranda l'equazione del piano $f(x,y) = 1 - sqrt(x^2+y^2)$. In tal modo calcolo: $vol(C) = \int\int_{D} 1 - sqrt(x^2+y^2)\ dxdy = ... = \frac{\pi}{3}$ P.S. Il calcolo dell'integrale doppio lo ho svolto, per ...

Salve a tutti, sto cercando di risolvere quest'esercizio: Dimostrare le seguenti affermazioni Se $C_i \sub \RR^n, i \in I$ sono insiemi chiusi, $\nnn_{i \in I} C_i $ è ancora un insieme chiuso E la seconda (non fatemelo scrivere in formule plz) dice invece che l'unione di aperti è ancora un aperto. Sarò sincero la prime due lezioni in cui abbiamo affrontato i vari tipi di punti, palle (o intorni circolari come li chiama il libro), insiemi chiusi, aperti non mi sono per niente piaciute. La seconda ...

Ciao a tutti, Dati $ X=[-5/2,0) $ $ Y=[-1,2) $ con $ x in X $ e $ y in Y $ Devo calcolare l'inf e il sup di $ G= {y/x} $ So che dovrebbero essere - e + infinito ma non capisco perché. Grazie!

Disequazione con fattoriale: Ho delle difficoltà a svolgere il seguente esercizio: (2n)! >= (n!)^2 per ogni n >= 0 il primo caso è abbastanza semplice ma non riesco a dimostrarlo tramite il principio di induzione.

La professoressa ci ha finalmente dato una scheda di esercizi e volevo avere un parere su come ho svolto alcuni di essi (sono riuscito a svolgere una buona parte di essi, mentre una parte non so proprio da dove iniziare). Le parti in grassetto non le contate. 1-) $ P_n = (a^n,e^{-an}, log[(1+a/n)^n])$ verificare per quali valori di $a$ converge e calcolarne il limite Dopo un pò di calcoli ho ottenuto questo: Per $a < -1, P_n$ non converge e il limite non esiste Per $a = 1, P_n$ converge e ...

Salve, sto avendo seri problemi ad arrivare ad alcuni risultati presentati dal Fasano-Marmi (che quando c'è da fare anche il conto più corto decide di ometterlo e presentare il solo risultato finale ). Anch'io non riscrivo tutta le definizioni ma solo le cose strettamente necessarie: $S= {(x_1,x_2,x_3) \in U|F(x_1,x_2,x_3) =0}$, sia poi $f:U \to \RR$ ove $U$ è un intorno della proiezione di $P = (x_1,x_2,x_3)$ sul piano $x_1,x_2$, tale che: $S= graph(f) = {(x_1,x_2,x_3) \in R^3|(x_1,x_2) \in U, x_3 = f(x_1,x_2)}$ Qui c'è i passaggi che non ...

Salve a tutti, ho quest'esercizio: Verificare che la parametrizzazione: $\phi : [-1,1] \to \RR^2, t \to (|t|,t)$ 1) non è chiusa 2-) semplice 3-) regolare, in caso contrario trovare una parametrizzazione a tratti Il punto 1 l'ho fatto; il punto 2 ho sfruttato il fatto (dettatomi dalla mia professoressa) che se anche una delle componenti è iniettiva nell'interno dell'intervallo $I$ allora la curva è semplice (o iniettiva anch'essa nell'interno di $I$) 3-) Per essere regolare deve essere ...

Salve a tutti: oggi ho affrontato le curve polari (non abbiamo speso molto tempo su di esse tuttavia). Riporto la definizione datami: $\phi = {x = \rho(\theta)cos\theta, y = \rho(\theta)sin\theta}$ ove $\theta \in I \sube R $ e $\rho:I\to [0,+\infty[, "continua"$ Poi è stato fatto l'esempio della spirale d'archimede e altri calcoli abbastanza innocui. Tuttavia, una cosa non mi è chiara:come riconoscere se un sostegno (dove con sostegno intendo $Im(\phi)$) può essere o meno sostegno di una curva polare, solamente guardando il grafico : per esempio il ...