Analisi matematica di base
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Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto con questo esercizio:
Chiede di determinare una parametrizzazione della curva chiusa $\gamma$ che
si ottiene percorrendo prima da sinistra verso destra il grafico della funzione $f(x) = (1/3) (2x-1)^{3/2}, 1/2 <= x <= 1$e poi da destra a sinistra il segmento congiungente gli estremi del grafico di f stessa. Disegnare quindi il sostegno della curva e infine la lunghezza. (Sidequest: stabilire se la curva è semplice).
Non so bene come trovare una parametrizzazione, tuttavia ...
Ciao a tutti,
ho provato a risolvere questo esercizio:
Siano $A,B\in\mathbb{R}_+$ ($\mathbb{R}_+$ contiene lo zero) non-vuoti. Provare che $\text{inf}(AB)=\text{inf}(A)\cdot\text{inf}(B)$. [Notazione: moltiplicazioni insieme-insieme o scalare-insieme si intendono elemento per elemento.]
La mia soluzione. Gli insiemi sono inferiormente limitati quindi esistono $\text{inf}(A),\text{inf}(B)$ reali, finiti. Se $0\in A$ oppure $0\in B$, allora $0\in A\cdot B$ e non c'è niente da dimostrare. Se $A$ e ...
Ciao a tutti.
Calcolando la lunghezza di una curva in un esercizio, mi sono ritrovato a dover calcolare il seguente integrale:
$\int_0^(2\pi) \sqrt(1+\cos t) dt $
Che ho risolto utilizzando la formula di bisezione del coseno: $\cos(t/2)=\pm\sqrt((1+\cos t)/(2))$
Da cui si ottiene: $\int_0^(2\pi) \sqrt(1+\cos t) \ dt = \int_0^(2\pi) \sqrt(2)|\cos(t/2)| dt$
giungendo al risultato con facili conti.
La mia domanda è questa: si poteva risolvere anche in un altro modo, che non chieda di utilizzare la bisezione del coseno? Perché, obiettivamente, mi rendo conto che non tutti gli studenti ...
Salve a tutti, oggi abbiamo affrontato i limiti in due variabili e anche i limiti in coordinate polari e avrei alcune domande:
Volevo chiedere innanzitutto se questo procedimento è corretto (sappiamo già che il limite non esiste però la professoressa ha detto di provare a svolgerlo in coordinate polari per esercizio):
$\lim_{(x,y)\ to \vec 0} \frac{x^2y}{x^4+y^2}$
Fatta la trasformazione in coordinate polari arrivo a:
$\lim_{\rho \to 0^+} \rho \frac{cos^\theta sin\theta}{\rho^2 cos^4\theta +sin^2\theta}$
Adesso se ho capito bene la strategia, se chiamo $a(\rho,\theta) = \frac{cos^\theta sin\theta}{\rho^2 cos^4\theta +sin^2\theta} $ e mostro poi che ...
[regolamento]1[/regolamento]Ho questo esercizio da svolgere (cioè l'ho svolto e vorrei sapere se c'è qualche errore nelle mie conclusioni):
Dice di disegnare nel piano i seguenti insiemi e dire se sono chiusi, aperti e/o limitati (nel caso fossero limitati trovare una parametrizzazione della frontiera):
$A_1 = \{(x,y) \in \RR^2 " : "|x-1|+|y+3| <=2 \} $
$A_2 = \{(x,y) \in \RR^2 " : "x^2+16y^2 <16 \}$
$ A_3 =\{(x,y) \in \RR^2 " : " log(|x|+1)-y >=0 \^^ |y+3| <1 \}$
Dopo una lunga sessione di disegno sono giunto a queste conclusioni:
$A_1$: non è limitato, né chiuso né ...
Ciao,
dato
$ N = { nin N , n >= 1 } $
$ m,n in N $
sup al variare di m ( inf al variare di n ( $ 2^(m-n) $ ) = sup al variare di m (0) = 0
Non capisco perche l'inf diventa 0. Anche anche attribuendo a m,n i valori minimi o massimi, non si ottiene 1?
Grazie
Buongiorno ragazzi,
mi viene chiesto di svolgere il seguente esercizio:
Calcolare il volume del cono $C = {(x,y,z) : 0 \le z \le 1 - sqrt(x^2+y^2), x^2+y^2 \le 1}$.
Ho bisogno di capire se la mia risoluzione è corretta:
Ho considerato come dominio di variazione delle variabili $x$ e $y$ il cerchio unitario centrato nell'origine $(D = x^2 + y^2 \le 1)$ e come funzione integranda l'equazione del piano $f(x,y) = 1 - sqrt(x^2+y^2)$. In tal modo calcolo:
$vol(C) = \int\int_{D} 1 - sqrt(x^2+y^2)\ dxdy = ... = \frac{\pi}{3}$
P.S. Il calcolo dell'integrale doppio lo ho svolto, per ...
Salve a tutti, sto cercando di risolvere quest'esercizio: Dimostrare le seguenti affermazioni
Se $C_i \sub \RR^n, i \in I$ sono insiemi chiusi, $\nnn_{i \in I} C_i $ è ancora un insieme chiuso
E la seconda (non fatemelo scrivere in formule plz) dice invece che l'unione di aperti è ancora un aperto.
Sarò sincero la prime due lezioni in cui abbiamo affrontato i vari tipi di punti, palle (o intorni circolari come li chiama il libro), insiemi chiusi, aperti non mi sono per niente piaciute.
La seconda ...
Ciao a tutti,
Dati $ X=[-5/2,0) $ $ Y=[-1,2) $ con $ x in X $ e $ y in Y $
Devo calcolare l'inf e il sup di $ G= {y/x} $
So che dovrebbero essere - e + infinito ma non capisco perché.
Grazie!
Disequazione con fattoriale
Miglior risposta
Disequazione con fattoriale:
Ho delle difficoltà a svolgere il seguente esercizio:
(2n)! >= (n!)^2 per ogni n >= 0
il primo caso è abbastanza semplice ma non riesco a dimostrarlo tramite il principio di induzione.
La professoressa ci ha finalmente dato una scheda di esercizi e volevo avere un parere su come ho svolto alcuni di essi (sono riuscito a svolgere una buona parte di essi, mentre una parte non so proprio da dove iniziare). Le parti in grassetto non le contate.
1-) $ P_n = (a^n,e^{-an}, log[(1+a/n)^n])$ verificare per quali valori di $a$ converge e calcolarne il limite
Dopo un pò di calcoli ho ottenuto questo:
Per $a < -1, P_n$ non converge e il limite non esiste
Per $a = 1, P_n$ converge e ...
Salve, sto avendo seri problemi ad arrivare ad alcuni risultati presentati dal Fasano-Marmi (che quando c'è da fare anche il conto più corto decide di ometterlo e presentare il solo risultato finale ). Anch'io non riscrivo tutta le definizioni ma solo le cose strettamente necessarie:
$S= {(x_1,x_2,x_3) \in U|F(x_1,x_2,x_3) =0}$, sia poi $f:U \to \RR$ ove $U$ è un intorno della proiezione di $P = (x_1,x_2,x_3)$ sul piano $x_1,x_2$, tale che:
$S= graph(f) = {(x_1,x_2,x_3) \in R^3|(x_1,x_2) \in U, x_3 = f(x_1,x_2)}$
Qui c'è i passaggi che non ...
Salve a tutti, ho quest'esercizio:
Verificare che la parametrizzazione:
$\phi : [-1,1] \to \RR^2, t \to (|t|,t)$
1) non è chiusa
2-) semplice
3-) regolare, in caso contrario trovare una parametrizzazione a tratti
Il punto 1 l'ho fatto;
il punto 2 ho sfruttato il fatto (dettatomi dalla mia professoressa) che se anche una delle componenti è iniettiva nell'interno dell'intervallo $I$ allora la curva è semplice (o iniettiva anch'essa nell'interno di $I$)
3-) Per essere regolare deve essere ...
Salve a tutti: oggi ho affrontato le curve polari (non abbiamo speso molto tempo su di esse tuttavia). Riporto la definizione datami:
$\phi = {x = \rho(\theta)cos\theta, y = \rho(\theta)sin\theta}$ ove $\theta \in I \sube R $ e $\rho:I\to [0,+\infty[, "continua"$
Poi è stato fatto l'esempio della spirale d'archimede e altri calcoli abbastanza innocui.
Tuttavia, una cosa non mi è chiara:come riconoscere se un sostegno (dove con sostegno intendo $Im(\phi)$) può essere o meno sostegno di una curva polare, solamente guardando il grafico : per esempio il ...
Salve a tutti. Sto studiando meccanica analitica, e come spero qualcuno sappia essa richiede delle conoscenze avanzate di analisi 2 (nonostante la prima lezione di analisi 2 è stata proprio ieri pomeriggio ). In ogni caso, il professore in queste prime lezioni ha fatto delle introduzioni "matematiche" (il materiale proviene dal ben noto testo Fasano-Marmi) e ieri si è parlato di superfici in $R^3$ (le definizioni che porto le ho tradotte io dall'inglese, avendo il testo in inglese ...
Salve a tutti. La professoressa ha introdotto le curve a fine lezione. Come esercizio ha detto di provare a dimostrare che una curva può essere chiusa e semplice. Ci ha poi fornito tale esempio da verificare:
Sia $\phi: I = [0,2\pi] \to \RR^2, t \to \vec \phi(t) = (rcost,rsint)$
Sappiamo che è regolare infatti le derivate di $rcost,rsint$ sono continue e so anche che
$\vec \phi(0) = \vec \phi (2\pi)= (r,0)$, dunque è verificato che essa la curva è chiusa. Fin qui non ho avuto problemi ovviamente.
Adesso, per la seconda richiesta, devo verificare ...
Ciao a tutti!
Devo dimostrare il seguente enunciato per induzione
$ n^n>=2^n n! $
Ho scomposto il primo termine ma non riesco a capire come andare avanti.
Riuscite a darmi un consiglio?
Grazie mille
\( \newcommand{\norm}[1]{\lVert{#1}\rVert} \)Ciao. Se \( f \) e \( g \) sono funzioni definite in un intorno di un punto \( x_0\in \mathbb R \) a valori reali derivabili \( k \) volte in \( x_0 \), è ben noto che si ha
\[
f^{(i)}(x_0) = g^{(i)}(x_0)
\] per ogni \( i = 1,\dots,k \) se e solo se
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x) - g(x)}{(x - x_0)^k} = 0\,\text{.}
\]
È ancora vero che se \( f,g\colon A\subset E\to F \) sono funzioni tra spazi normati definire in un intorno di un punto \( x_0 \) e ivi ...
Buongiorno, devo risolvere questo esercizio :
$F(x,y) = (yarct(y^2), e^xsen(x))$
$\gamma(t)$ $(t,sen(t))$ $t [0,\pi] $
Ho fatto la divergenza è mi viene nulla, non riesco a capire ora come andare avanti, prima volta che mi trovo ad affrontare una cosa simile, e la prof non è per nulla chiara.
Potreste aiutarmi un poco?, vi ringrazio di cuore.
Salve a tutti. Come ieri sto ancora combattendo con le derivate parziali:
In sostanza (tralasciando tutte le cose che suppongo chi abbia affrontato analisi 2 già conosca e usando la notazione qui utilizzata) viene detto che se
$x = x(\phi, \eta), y = y(\phi, \eta), f(x,y)$ sono funzioni differenziabili allora la funzione composta:
$f(\phi, \eta) = f(x(\phi,\eta),y(\phi,\eta))$ è anch'essa differenziabile e quindi le sue derivate parziali sono date da:
$\{(f_\phi = f_x x_\phi+f_y y_\phi),(f_\eta = f_x x_\eta+f_y y_\eta):}$
Come esercizio fa calcolare le derivate parziali nel caso del passaggio da ...
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