Limite
Ciao, come calcolo il limite:
$ lim_(n -> +oo) (logn)^(3n)/(n^2-1) $
Ho provato ad utilizzare $ n = e^logn $ e quindi $ e^(log(logn)^(3n)) $ ma non sono riuscito a concludere nulla
.
$ lim_(n -> +oo) (logn)^(3n)/(n^2-1) $
Ho provato ad utilizzare $ n = e^logn $ e quindi $ e^(log(logn)^(3n)) $ ma non sono riuscito a concludere nulla
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Risposte
Che dici di usare $log n > 2$ per esempio?
Ciao StrilingAlQuadrato,
Si vede ad occhio che si ha:
$\lim_{n \to +\infty} (logn)^(3n)/(n^2-1) = +\infty $
Se proprio lo devi dimostrare, userei il fatto che per $n \to +\infty $ si ha $2 < log n < n $, la disuguaglianza $n < 2^n $ ed il teorema dei due carabinieri, potendosi scrivere la catena di disuguaglianze seguente:
$ n^3/(n^2-1) < (2^n)^3/(n^2-1) = 2^(3n)/(n^2-1) < (logn)^(3n)/(n^2-1) < n^{3n}/(n^2-1) = (n^n)^3/(n^2-1) = (e^{n log n})^3/(n^2-1) < (e^{n^2})^3/(n^2-1) = e^{3n^2}/(n^2-1) $
Dato che $ \lim_{n \to +\infty} n^3/(n^2-1) = +\infty $ e $ \lim_{n \to +\infty} e^{3n^2}/(n^2-1) = +\infty $, ne consegue il risultato già scritto.
Si vede ad occhio che si ha:
$\lim_{n \to +\infty} (logn)^(3n)/(n^2-1) = +\infty $
Se proprio lo devi dimostrare, userei il fatto che per $n \to +\infty $ si ha $2 < log n < n $, la disuguaglianza $n < 2^n $ ed il teorema dei due carabinieri, potendosi scrivere la catena di disuguaglianze seguente:
$ n^3/(n^2-1) < (2^n)^3/(n^2-1) = 2^(3n)/(n^2-1) < (logn)^(3n)/(n^2-1) < n^{3n}/(n^2-1) = (n^n)^3/(n^2-1) = (e^{n log n})^3/(n^2-1) < (e^{n^2})^3/(n^2-1) = e^{3n^2}/(n^2-1) $
Dato che $ \lim_{n \to +\infty} n^3/(n^2-1) = +\infty $ e $ \lim_{n \to +\infty} e^{3n^2}/(n^2-1) = +\infty $, ne consegue il risultato già scritto.
Ciao pilloeffe,
grazie mille per la risposta, l'unico passaggio che mi ha lasciato perplesso è questo:
$ (e^(nlogn))^3 < (e^(n^2))^3 $ .
Praticamente qualora trovassi difficoltà nel risolvere la disuguaglianza posso cercare un'ulteriore frazione che è $ > $ di quella che sto calcolando fino a trovarne una il cui limite è "semplice" da calcolare.
grazie mille per la risposta, l'unico passaggio che mi ha lasciato perplesso è questo:
$ (e^(nlogn))^3 < (e^(n^2))^3 $ .
Praticamente qualora trovassi difficoltà nel risolvere la disuguaglianza posso cercare un'ulteriore frazione che è $ > $ di quella che sto calcolando fino a trovarne una il cui limite è "semplice" da calcolare.
A me pare più semplice osservare che siccome $log n > 2$, abbiamo $((log n)^(3n))/(n^2-1) > (2^(3n))/(n^2-1)$ e la seconda funzione tende a infinito quindi anche la prima.
L'idea è semplice: se $f(n) > g(n)$ per ogni $n$ abbastanza grande e $g(n)$ tende a infinito allora ovviamente anche $f(n)$ tende a infinito.
L'idea è semplice: se $f(n) > g(n)$ per ogni $n$ abbastanza grande e $g(n)$ tende a infinito allora ovviamente anche $f(n)$ tende a infinito.
"StrilingAlQuadrato":
grazie mille per la risposta, l'unico passaggio che mi ha lasciato perplesso è questo:
$ (e^(n log n))^3 < (e^(n^2))^3 $
Prego. Beh, abbiamo scritto che $log n < n $ (che fra l'altro vale $ \AA n > 0$), quindi...
"Martino":
A me pare più semplice osservare che siccome $log n > 2$, abbiamo $((log n)^(3n))/(n^2-1) > (2^(3n))/(n^2-1)$ e la seconda funzione tende a infinito quindi anche la prima.
Ciao e grazie per la risposta.
Hai scelto $log n > 2$ a caso, giusto? Tecnicamente sarebbe andato bene ogni altro numero?
Sì ogni numero maggiore di $1$ andava bene.
"StrilingAlQuadrato":
Tecnicamente sarebbe andato bene ogni altro numero?
Sì, però col $2$ che ti ha consigliato Martino puoi sfruttare anche la disuguaglianza $2^n > n $ che già hai avuto modo di conoscere...
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