Potenze
Ciao a tutti, vorrei riordinare le idee sulle potenze rigaurdo un esercizio che ho letto in rete.
Non riesco però a trovare una definizione che non sia delle scuole medie riguardo le potenze nei vari campi indicari e poi in base a quelle dimostrare quanto scritto nel seguente esercizio:
Quanto vale $1^n$ con $n in NN$? E con $n in ZZ$?
E quanto vale $1^(1/m)$ con $m in ZZ$ e $m != 0$?
Quindi, quanto vale $1^(n/m)$ con $n/m in QQ$?
E questo cosa comporta circa il valore di $1^x$ con $x in RR$?
Potreste gentilmente aiutarmi, sento di avere una lacuna in questo.
Non riesco però a trovare una definizione che non sia delle scuole medie riguardo le potenze nei vari campi indicari e poi in base a quelle dimostrare quanto scritto nel seguente esercizio:
Quanto vale $1^n$ con $n in NN$? E con $n in ZZ$?
E quanto vale $1^(1/m)$ con $m in ZZ$ e $m != 0$?
Quindi, quanto vale $1^(n/m)$ con $n/m in QQ$?
E questo cosa comporta circa il valore di $1^x$ con $x in RR$?
Potreste gentilmente aiutarmi, sento di avere una lacuna in questo.
Risposte
Ciao gasperoz,
Benvenuto sul forum!
La risposta a tutte le domande è $1$...
Benvenuto sul forum!
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Ciao, certamente si è 1.
Tuttavia ciò che volevo fare era sfruttare la definizione di potenze nei vari campi per giungere alla risposta.
Io so la risposta automaticamente, ma vorrei capire il perché sfruttando le definizioni, insomma come si definiscono nei vari campi quelle potenze? Credo sia lì il dubbio di fondo
Tuttavia ciò che volevo fare era sfruttare la definizione di potenze nei vari campi per giungere alla risposta.
Io so la risposta automaticamente, ma vorrei capire il perché sfruttando le definizioni, insomma come si definiscono nei vari campi quelle potenze? Credo sia lì il dubbio di fondo
Per $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ e per $x\in\mathbb{R}$ si definisce la potenza $x^n$ come il prodotto di $n$ termini uguali ad $x$. Ovvero:
$$x^n:=\underbrace{x\cdot ... \cdot x}_{n \ \text{volte}}$$
Se $x\ne 0$, si pone per definizione $x^0=1$. Questo, unito al fatto che $1$ è l'elemento neutro della moltiplicazione in tutti gli insiemi che hai citato, dovrebbe convincerti del fatto che $1^n=1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$. Non si definisce $0^0$, almeno nel contesto elementare delle potenze.
Se $n\in\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ (ossia se $n$ è strettamente negativo) e per $x \ne 0$, si definisce $x^n:=\left(\frac{1}{x}\right)^{-n}$. Nota che, essendo $n<0$, è $-n>0$ e quindi ci siamo ricondotti al caso precedente di potenza già definita (con $-n$ termini; nota che, essendo $n<0$, è $-n>0$ e quindi ha senso dire "$-n$ termini". A volte trovi anche $|n|$ anziché $-n$ all'esponente di $1/x$, è equivalente appunto perché se $n<0$ è $|n|=-n$).
In $\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}$ si dà una definizione delle potenze frazionarie dopo l'introduzione delle radici, facendo molta attenzione al fatto che le basi devono essere non negative (o si ottengono contraddizioni con le frazioni equivalenti, in quanto si prende come rappresentante di un generico numero razionale la frazione $p/q$ con $p$ intero e $q$ naturale non nullo, ma bisogna dimostrare che la definizione posta non dipende dal rappresentante scelto). Come vedi, già qui le cose iniziano a diventare un po' più complicate: devi aver dimostrato l'esistenza delle radici per numeri reali positivi, devi stare attento a cose del tipo $1/2=2/4$ ma, in generale, è $x^{1/2}\ne x^{2/4}$. Si può definire anche per basi negative, ma si perdono delle proprietà formali delle potenze.
In $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ si definiscono con l'introduzione degli esponenziali (o con definizioni equivalenti, tipo successioni stabilizzanti). Qui peggio ancora: si iniziano ad usare strumenti un po' più avanzati, con i quali si possono definire rigorosamente l'esponenziale o i limiti di successioni.
Alla fine, si ottiene la definizione più generale possibile solo in $\mathbb{C}$ (anche per esponenti non interi).
Insomma, sono cose molto noiose da scrivere e presentano dettagli anche delicati da sistemare (tant'è che i corsi di base di analisi si guardano bene dal trattare esaustivamente questa parte, dandola per buona dalle scuole dell'obbligo). Ti consiglio di prendere un testo di analisi I e studiare lì. Personalmente, mi è piaciuto molto il "De Marco - Analisi Uno. Teoria ed Esercizi" su questa parte; altrimenti, prendi il Pagani-Salsa (attenzione: non il Bramanti-Pagani-Salsa).
$$x^n:=\underbrace{x\cdot ... \cdot x}_{n \ \text{volte}}$$
Se $x\ne 0$, si pone per definizione $x^0=1$. Questo, unito al fatto che $1$ è l'elemento neutro della moltiplicazione in tutti gli insiemi che hai citato, dovrebbe convincerti del fatto che $1^n=1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$. Non si definisce $0^0$, almeno nel contesto elementare delle potenze.
Se $n\in\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ (ossia se $n$ è strettamente negativo) e per $x \ne 0$, si definisce $x^n:=\left(\frac{1}{x}\right)^{-n}$. Nota che, essendo $n<0$, è $-n>0$ e quindi ci siamo ricondotti al caso precedente di potenza già definita (con $-n$ termini; nota che, essendo $n<0$, è $-n>0$ e quindi ha senso dire "$-n$ termini". A volte trovi anche $|n|$ anziché $-n$ all'esponente di $1/x$, è equivalente appunto perché se $n<0$ è $|n|=-n$).
In $\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}$ si dà una definizione delle potenze frazionarie dopo l'introduzione delle radici, facendo molta attenzione al fatto che le basi devono essere non negative (o si ottengono contraddizioni con le frazioni equivalenti, in quanto si prende come rappresentante di un generico numero razionale la frazione $p/q$ con $p$ intero e $q$ naturale non nullo, ma bisogna dimostrare che la definizione posta non dipende dal rappresentante scelto). Come vedi, già qui le cose iniziano a diventare un po' più complicate: devi aver dimostrato l'esistenza delle radici per numeri reali positivi, devi stare attento a cose del tipo $1/2=2/4$ ma, in generale, è $x^{1/2}\ne x^{2/4}$. Si può definire anche per basi negative, ma si perdono delle proprietà formali delle potenze.
In $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ si definiscono con l'introduzione degli esponenziali (o con definizioni equivalenti, tipo successioni stabilizzanti). Qui peggio ancora: si iniziano ad usare strumenti un po' più avanzati, con i quali si possono definire rigorosamente l'esponenziale o i limiti di successioni.
Alla fine, si ottiene la definizione più generale possibile solo in $\mathbb{C}$ (anche per esponenti non interi).
Insomma, sono cose molto noiose da scrivere e presentano dettagli anche delicati da sistemare (tant'è che i corsi di base di analisi si guardano bene dal trattare esaustivamente questa parte, dandola per buona dalle scuole dell'obbligo). Ti consiglio di prendere un testo di analisi I e studiare lì. Personalmente, mi è piaciuto molto il "De Marco - Analisi Uno. Teoria ed Esercizi" su questa parte; altrimenti, prendi il Pagani-Salsa (attenzione: non il Bramanti-Pagani-Salsa).
Ciao, grazie per la risposta.
Proprio per il motivo che dici tu sento una grande lacuna, anche perché non è stato trattato nel corso, ma anche al liceo essendo roba del biennio è stata trattata in modo intuitivo non certo dal punto di vista superiore di un libro di testo.
Metterò senza dubbio le mani su quello che dici, grazie davvero!
Proprio per il motivo che dici tu sento una grande lacuna, anche perché non è stato trattato nel corso, ma anche al liceo essendo roba del biennio è stata trattata in modo intuitivo non certo dal punto di vista superiore di un libro di testo.
Metterò senza dubbio le mani su quello che dici, grazie davvero!
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