Serie numeriche - criterio del confronto

[Pylord]

Ciao, vorrei chiedere come risolvere

$ sum_(n = +1)^(+oo) [(n+1)(sin(n)+2)]/n^(5/3) $

Ho provato con il criterio del confronto, quindi cercando una serie bn tale che $ a_n $ < $ b_n $.
In nessun caso ha funzionato,

ho provato con $ b_n $ = $ b_n = sum_(n = +1)^(+oo) [(n)(sin(n))]/n^(5/3) $ ma questa diverge, e quindi non mi dice nulla di an.

Ho provato con una più piccola, $ b_n = sum_(n = +1)^(+oo) [(n)(sin(n)+2)]/n^(5/3) $ ma questa converge, e quindi non scopro nulla di $ a_n $.

Ho provato con $ b_n = sum_(n = +1)^(+oo) [(n)(sin(n))]/n^(5/3) $

con qualche passaggio viene $ lim_(x -> +oo) sinn/n^(3/2) -> 0 $ e quindi anche la serie iniziale converge.

Il procedimento è corretto?

[ghira1]

"StrilingAlQuadrato":Ciao, vorrei chiedere come risolvere

$ sum_(n = +1)^(+oo) [(n+1)(sin(n)+2)]/n^(5/3) $

Che ne dici di $\frac{3(n+1)}{n^{5/3}}$?

[pilloeffe]

Ciao StrilingAlQuadrato,

Credo che i tuoi problemi nascano dal fatto che stai cercando di dimostrare che la serie a termini positivi proposta è convergente, mentre invece non lo è...
Infatti si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} [(n+1)(sin(n)+2)]/n^{5/3} > \sum_{n = 1}^{+\infty} n/n^{5/3} = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{2/3} $

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2/3 < 1 $, notoriamente divergente.

[Pylord]

Pilloeffee the best, grazie mille.