Convergenza uniforme di successioni di funzioni

[Lebesgue]

Ciao a tutti, stavo riprendendo le successioni di funzioni e, nel fare alcuni esercizi, mi sono sorti dei dubbi.

(i) Consideriamo la seguente successione di funzioni: $f_n(x)=(\sqrt(x)(1-x))/(1+nx)$, con $x\in[0,1]$.
Si vede facilmente che converge puntualmente a $f_\infty=0$, inoltre essendo $[0,1]$ compatto, ho notato che, ad $x$ fisso, la successione $\{f_n(x)\}_n$ è decrescente in $n$, dunque per un teorema di monotonia ho che la successione converge uniformemente a 0 in tutto $[0,1]$.

(ii) Prendiamo poi la successione $g_n(x)=\sqrt(n)f_n(x)=(\sqrt(nx)(1-x))/(1+nx)$, sempre con $x\in[0,1]$.
Anche in questo caso la successione converge puntualmente a 0 per ogni valore di $x$, tuttavia non riesco a studiare bene la convergenza uniforme. Ho dimostrato che vi è convergenza uniforme su tutti i compatti $[A,B]$ con $0
$ 0\le g_n(x) \le (\sqrt(nB)(1-A))/(1+nA)$

ed il membro di destra tende a 0 indipendentemente da $x$.

(iii) Sia poi invece data la successione $f_n(x)=\sin(\pix^(1/n))$, con $x\ge0$.
Anche stavolta si ha convergenza puntuale a 0 su tutto $[0,+\infty)$, tuttavia non riesco a capire la convergenza uniforme... mi verrebbe da dire che $\mbox{sup} \{|f_n(x)|, x\ge0\}=1$, per cui salta la convergenza uniforme su $[0,+\infty)$. Non riesco però neanche a studiare la convergenza sui compatti...

(iv) $f_n(x)=(\sin(x+1/n))^n$ con $x\ge 0$.
Qui ho problemi anche con la convergenza puntuale... perché mi verrebbe da dire che il limite puntuale è sempre 0, tuttavia ad esempio se $x=\pi/2$ allora il limite è 1...

[Quinzio]

"Lebesgue":Ciao a tutti, stavo riprendendo le successioni di funzioni e, nel fare alcuni esercizi, mi sono sorti dei dubbi.

(i) Consideriamo la seguente successione di funzioni: $f_n(x)=(\sqrt(x)(1-x))/(1+nx)$, con $x\in[0,1]$.
Si vede facilmente che converge puntualmente a $f_\infty=0$, inoltre essendo $[0,1]$ compatto, ho notato che, ad $x$ fisso, la successione $\{f_n(x)\}_n$ è decrescente in $n$, dunque per un teorema di monotonia ho che la successione converge uniformemente a 0 in tutto $[0,1]$.

(ii) Prendiamo poi la successione $g_n(x)=\sqrt(n)f_n(x)=(\sqrt(nx)(1-x))/(1+nx)$, sempre con $x\in[0,1]$.
Anche in questo caso la successione converge puntualmente a 0 per ogni valore di $x$, tuttavia non riesco a studiare bene la convergenza uniforme. Ho dimostrato che vi è convergenza uniforme su tutti i compatti $[A,B]$ con $0
$ 0\le g_n(x) \le (\sqrt(nB)(1-A))/(1+nA)$

ed il membro di destra tende a 0 indipendentemente da $x$.

(iii) Sia poi invece data la successione $f_n(x)=\sin(\pix^(1/n))$, con $x\ge0$.
Anche stavolta si ha convergenza puntuale a 0 su tutto $[0,+\infty)$, tuttavia non riesco a capire la convergenza uniforme... mi verrebbe da dire che $\mbox{sup} \{|f_n(x)|, x\ge0\}=1$, per cui salta la convergenza uniforme su $[0,+\infty)$. Non riesco però neanche a studiare la convergenza sui compatti...

Prima studia la $g_n(x)= \pix^(1/n)$ da sola.

Anche qui e' abbastanza immediato vedere che $lim_{n->\infty}g_n(x) = {(0",", x = 0),(\pi",", x > 0):}$

Quindi $\sin(g_n(0)) = 0$, poi la funzione $\sin(g_n(x))$ cresce fino al massimo di $1$ per $g_n(x_M) = \pi /2$ e poi decresce fino allo zero, lo raggiunge, e diventa "leggermente" negativa.
Pensa sempre al comportamento di $\pix^(1/n)$.

Quindi, al crescere di $n$, c'e' un massimo che si sposta sempre piu' verso $x = 0$ e per $x > x_M$ la funzione tende a $0$.
Ovvero si ha convergenza uniforme per $x \in [A,B]$ con $A,B \in RR$.

Cerca tu adesso di mettere giu' questa piccola dimostrazione in modo piu' rigoroso.

(iv) $f_n(x)=(\sin(x+1/n))^n$ con $x\ge 0$.
Qui ho problemi anche con la convergenza puntuale... perché mi verrebbe da dire che il limite puntuale è sempre 0, tuttavia ad esempio se $x=\pi/2$ allora il limite è 1...

Ok, il ragionamento e' giusto, quindi non ti resta che concludere che la successione converge puntualmente cosi':

$lim_{n->\infty}f_n(x) = {(0",", x \ne \pi/2 +k \pi),(1",", x = \pi/2 +2k \pi),(-1",", x = -\pi/2 +2k \pi):}, k\in ZZ$

La convergenza uniforme c'e' negli intervalli

$[A,B], -\pi/2 +k \pi < A < B < \pi/2 +k \pi, k \in ZZ$

[Lebesgue]

"Quinzio":
Ok, il ragionamento e' giusto, quindi non ti resta che concludere che la successione converge puntualmente cosi':

$lim_{n->\infty}f_n(x) = {(0",", x \ne \pi/2 +k \pi),(1",", x = \pi/2 +2k \pi),(-1",", x = -\pi/2 +2k \pi):}, k\in ZZ$

La convergenza uniforme c'e' negli intervalli

$[A,B], -\pi/2 +k \pi < A < B < \pi/2 +k \pi, k \in ZZ$

Un attimo, qui non mi torna bene il limite puntuale: perché per $x = -\pi/2 +2k \pi$, ho che $\lim_n f_n(x)=-1$?
Io direi che per tali $x$, il limite non esiste, in quanto mi verrebbe $(-1)^n$ che è una successione che non ammette limite. Sbaglio qualcosa io?

Per il resto, ti ringrazio molto per i consigli!

[Quinzio]

"Lebesgue":
Sbaglio qualcosa io?

No, non sbagli, hai perfettamente ragione.

Per il problema (ii)
$ g_n(x)=\sqrt(n)f_n(x)=(\sqrt(nx)(1-x))/(1+nx) $

purtroppo la funzione non converge puntualmente a zero $\forall x$ perche' ad es.
se prendi $x = 1/n$ hai

$ g_n(1/n)=(1-1/n)/2 $

che tende a $1/2$.
Quindi nella funzione limite c'e' sempre (almeno) un punto che non e' zero per $x \in [0,1]$

[Lebesgue]

"Quinzio":
Per il problema (ii)
$ g_n(x)=\sqrt(n)f_n(x)=(\sqrt(nx)(1-x))/(1+nx) $

purtroppo la funzione non converge puntualmente a zero $\forall x$ perche' ad es.
se prendi $x = 1/n$ hai

$ g_n(1/n)=(1-1/n)/2 $

che tende a $1/2$.
Quindi nella funzione limite c'e' sempre (almeno) un punto che non e' zero per $x \in [0,1]$

Mmm... però così in realtà stai dicendo che la successione di punti $x_n=(1/n)$ converge ad un punto per cui $g_n(x_n) \to 1/2 $ e tale punto è vicino 0...
Nel senso, non avendo la convergenza uniforme su tutto $[0,1]$, non vale il teorema di scambio del limite vicino a 0, infatti:

$g_n(\lim_n (1/n)) = 0 \ne \lim_n g_n(1/n) = 1/2 $
Quindi direi che comunque hai convergenza uniforma in sui compatti strettamente contenuti in $[0,1]$

[Quinzio]

$x=1$ e' sempre compreso nella convergenza.

Piu' precisamente direi che l'intervallo di convergenza uniforme e' $[A,1], A > 0$