Analisi matematica di base

Salve a tutti, non so come procedere per dimostrare con i coefficienti binomiali che $ (1+a)^n>1+an$ con $n>1$ Grazie

Ho risolto questo integrale $int tan^3 dx$ per sostituzione. Ho posto $y=tanx$ da cui $dx=1/(1+y^2)dy$ da cui $int y^3/(1+y^2) dy$, ho fatto la divisione tra polinomi e ho trovato $int y dy - int y/(y^2+1) dy$ da cui ancora $y^2/2 - 1/2log|y^2+1| +c = (tan^2x)/2-log(tan^2x+1) + c$ Sono abbastanza sicuro di questo procedimento anche perché ho trovato riscontri positivi su internet però ho come risultato questo: $log|cosx|+1/(2cos^2x) +c$ Mi chiedevo quindi se fosse un errore del professore o se sono soluzioni equivalenti. E se sì, come posso ...

Litigando con le forme differenziali per tentare di capirle, mi sono imbattutto nel concetto di volume element. Nel caso di una superficie bidimensionale $S$ dentro $\mathbb{R}^3$ il volume element diventa da definizione quella forma differenziale $\omega(\mathbf{r})(\mathbf{\xi}_1,\mathbf{\xi}_2)$ che assume il valore 1 ogni qual volta essa operi su una coppia di vettori $\mathbf{\xi}_1,\mathbf{\xi}_2$ ortonormali (vettori dello spazio tangente a $S$ nel generico punto $\mathbf{r}\in S$). Ora, quello che ...

Salve a tutti. Ho difficoltà nella risoluzione di questo studio di funzione. $f(x)=log^2|x|/(2log|x|-1)$. Il dominio è $R-{0,+\sqrt(e), -\sqrt(e)}$. La funzione è negativa in $(-sqrt(e),+sqrt(e))$. Stavo studiando gli eventuali punti di discontinuità e ho avuto difficoltà nella risoluzione dei limiti. In particolare quando calcolo $lim_(x->-sqrt(e)^+) log^2|x|/(2log|x|-1)$ ho che poiché la funzione è negativa a destra di $-sqrt(e)$ ho $lim_(x->-sqrt(e)^+) log^2(-x)/(2log(-x)-1)$. Andando a fare le varie sostituzioni non dovrei trovare che $log^2(-x) = 1/4*1^+$ e ...

Ciao! Ho difficoltà a capire la riscrittura di una relazione trigonometrica $ k^3cos^3(t)=3/4k^3cos(t)+1/4k^3cos(3t) $ Partendo dal secondo membro, applicando le formule fondamentali della trigonometria, sono riuscita a trovare il primo; purtroppo però dal primo membro non riesco a capire come arrivare al secondo...

Buongiorno, sto litigando con questo esercizio di analisi 2: $ T$ è il poligono di vertici \(\displaystyle (3,1),(0,3),(-3,1),(-3,-1),(0,-3),(3,-1)\) Calcolare (1) \(\displaystyle \int \int_T (2y^5+x^2+3x\,\text{sinh}\,y^3)dxdy \) La risposta è 54 ma qualsiasi ragionamento io faccia, ritorno a trovare 27. Ho disegnato il poligono ed ho trovato che: - \(\displaystyle y^5 \) dispari rispetto a y - \(\displaystyle 3x\,\text{sinh}\,y^3\) dispari rispetto a y - $x^2$ pari ...

Buongiorno a tutti, avrei un dubbio con il seguente integrale. $\int sqrt(1+sin(x)) dx$ Ho pensato di risolvere l'integrale in questo modo: $\int sqrt((1+sin(x)) * (1-sin(x))/(1-sin(x)) dx$ =$ \int sqrt((1-sin^2(x))/(1-sin(x))) dx$ = $\int sqrt((cos^2(x))/(1-sin(x))) dx $ = $\int (\abs(cos(x)))/(sqrt(1-sin(x))) dx$ A questo punto, se non ci fosse il valore assoluto, l'integrale sarebbe abbastanza facile: $\int (cos(x))/(sqrt(1-sin(x))) dx$, se pongo $ y= 1-sin(x) $ $iff$ $dy = -cos(x) dx$, ottengo: $ \int (-dy)/(sqrt(y))$ = $-2sqrt(y) + c$ = $-2sqrt(1-sin(x)) + c$ Per questo motivo, mi chiedevo, sarebbe ...

Buongiorno, cortesemente chiedo un aiuto per la risoluzione del seguente integrale. Ho provato a razionalizzare, a usare le sostituzioni euleriane, ma non ne vengo fuori $\int 1/(2x+sqrt(x^2 +3))dx$ Il risultato è $2/3 ln|2x+sqrt(x^2+3)|+1/3ln|sqrt(x^2+3) -x|+c$ Grazie

Le proprietà dell'estremo superiore$ L $di un insieme $A $sono: $1) L≥a,∀a∈A$ $2)∀ε>0,∃a_ε∈A:a_ε>L−ε$ Ho un dubbio: mi confermate che la seconda proprietà significa che in ogni intorno sinistro di $L$ cade un punto dell'insieme $A$ Grazie

Buongiorno, trascrivo il testo dell'esercizio ed il mio svolgimento, che però non sono sicuro sia rigoroso. \(\displaystyle \begin{cases} xy' + y = y^2 \\ y(1)=2 \alpha \end{cases} \) Ammette soluzione su $I = ]0, + infty [$ se e solo se: A. \(\displaystyle \alpha \in ] 0, 1/2 [ \) B. \(\displaystyle \alpha \in [ 0, 1/2 ] \) C. \(\displaystyle \alpha \in ] 0, 1/2 ] \) D. Nessuna delle precedenti La risposta che ho dato è la D. Ho risolto l'equazione vedendola come a variabili separabili e ...

Ciao a tutti, è possibile avere una dimostrazione sul perché le potenze con esponente reale positivo non sono definite se la base della potenza è negativa? Anche nel caso l'esponente sia razionale ci sono le stesse restrizioni, ma come riportato qui è possibile estendere la definizione, sotto determinate condizioni, anche ai numeri negativi.

Buonasera, sto affrontando il seguente esercizio: $(0,0)$ è un punto di minimo locale per la funzione $f(x,y)=(x^2+y^2)^2(y-x^4-\alpha)$ con $\alpha \in R$ se e solo se: A. $\alpha < 0$ B. $\alpha > 0$ C. $\alpha \geq 0$ D. $\alpha \leq 0$ Ragionando sulla definizione di estremo mi occorre scrivere un sistema dove sia $\grad f (0,0) = 0$, il determinante della matrice Hessiana non negativo e l'elemento $h_{11} > 0$. Ho provato a calcolare tutte le derivate necessarie, più e più ...

Buongiorno, qualcuno sa risolvere questo integrale improprio?

Salve a tutti, sto avendo difficoltà con il seguente esercizio: Determina il polinomio di Taylor di ordine 3 nel punto $x_0=0$ di: $log(e^(2x)-sinx)$ Ho pensato di raccogliere per $e^(2x)$ e trovare $2x + log(1+(-sinx/(e^(2x))))$ porre $ y=-sinx/(e^(2x))$ e usare lo sviluppo del logaritmo. E poi? come dovrei gestire il seno e l'esponenziale? Li sviluppo e basta? vien fuori una mezza schifezza. Tutto nella norma? A conti fatti dovrei avere $log(1+y) = y -1/2y^2 +1/3y^3 + o(y^3)$. Invece sviluppando ...

Buon pomeriggio a tutti. Mi trovo ad affrontare un esercizio che, al contrario di altri, mi sta veramente dando delle grane, mi sento davvero incapace! L'esercizio è il seguente: si ha la funzione \[ f(x, y) = \begin{cases} x & y < x^3 \\ y & y \geq x^3 \end{cases} \] Mi viene chiesto di determinare i punti in cui $f$ è continua, i punti in cui esistono le derivate parziali e i punti in cui è differenziabile. Ora, io ho capito un po' com'è il grafico: sono due piani che vengono ...

Salve a tutti, ho una domanda: come si rappresenta la parte decimale, cioè la parte compresa $[0,1]$ di un numero reale con una successione di intervalli dimezzati. Per esempio se volessi rappresentare il numero $2,1234$ come faccio a scrivere la parte $0,1234$ con una successione di intervalli dimezzati. Grazie

Buonasera trascrivo un esercizio da un tema d'esame di Analisi 2: Sia $f \in C^0(R^2,R) $ e $ C={ (x,y) \in R^2: x^{10}+y^{10} \leq \pi}$ Indicare se le affermazioni sono vere o false: 1) $f(C)$ è un intervallo chiuso 2) $f(C)$ è un insieme limitato Nelle soluzioni, entrambe sono vere. Grazie alla continuità di $f$, le proprietà topologiche di $C$ sono valide anche in $f(C)$, quindi è sufficiente studiare solo l'insieme $C$. Probabilmente mi sto ...

Ciao a tutti, qualcuno mi aiuta a risolvere questo limite che non mi torna: $ lim _(x->2^-)\frac{x-2}{ln(x-1) $ Non posso usare Hopital visto che bisogna usare le derivate e nell'ordine degli argomenti viene dopo

Buonasera, mi sono imbattuto in questo esercizio in un tema d'esame di Analisi II e non so assolutamente quello che sto facendo! Il testo riporta: La funzione $f:R^2 \rightarrow R $ data da $f(x,y) = (x^2+y^2)e^{-x^2}/e^{y^2}$ A. Nessuna delle altre B. Non ammette min assoluto ed il max assoluto è $1/e$ C. ha un unico punto di min ed il luogo dei punti di max non è chiuso D. ha un unico punto di min e il luogo dei punti di max è un compatto La risposta corretta è la D, ma io non riesco nemmeno a ...

Salve. Riporto l'enunciato del teorema di inveritibilità globale Sia A un aperto di $RR^n$ e $f:A->RR^n$ di classe $C^1$. Sia $DsubsetA$ un dominio limitato connesso e supponiamo che $J_(f)(x)!=0$ per ogni x in D. Se f subordina una corrispondenza biunivoca tra $deltaD$ e $deltaf(D)$ allora f(D) è un dominio limitato connesso e f è globalmente invertibile in D. Un passaggio della dimostrazione è proprio quello di ...