Analisi matematica di base

Buonasera, stavo provando a risolvere una traccia d'esame ma senza successo. Qualcuno mi potrebbe dire dov'è l'errore e come risolvere più facilmente l'integrale? $ int x^3/((x+4)(x^2+1)) dx $ ho iniziato con vari passaggi algebrici, sommando e sottraendo $1$ $ int( x^3/((x+4)(x^2+1))+1-1) dx$ $ int (x^3-((x+4)(x^2+1)))/((x+4)(x^2+1))dx+int 1 dx $ $ int (x^3-x^3-4x^2-x-4)/((x+4)(x^2+1)) dx + int1 dx $ $ int (-4x^2-x-4)/((x+4)(x^2+1)) dx+int 1dx $ Poi ho portato fuori il meno, raccolto il 4 ed ho di nuovo sommato e sottratto per 4 $ - int (4(x^2+1)+x+4-4)/((x+4)(x^2+1)) dx - int 1 dx$ cosi d'avere $ - int (4(x^2+1)+x+4)/((x+4)(x^2+1))dx-int (4)/((x+4)(x^2+1)) dx+ int 1 dx $ $ - int (4(x^2+1))/((x+4)(x^2+1)) dx + int (x+4)/((x+4)(x^2+1))dx- int (4)/((x+4)(x^2+1)) dx+ int 1 dx $ e ...

Buongiorno, sto verificando la densità di $mathbb{R}\\mathbb{Q}$ in $mathbb{R}$. Riporto le due definizioni che possono ritornare utili a i fini della comprensione. Chiusura: Sia $E subseteq mathbb{R}^n$, si definisce chiusura di $E$ l'insieme $overline{E}=E cup partialE $, dove $partial E $ punti di frontiera di $E$. Denso: Sia $E, A subseteq mathbb{R}^n$, l'insieme $E$ è denso in $A$ se $overline{A}=overline{E}$. Quindi, devo verificare che $overline{mathbb{R}\\mathbb{Q}}=overline{mathbb{R}}$. ...

Buonasera, Affrontando vari esercizi nella preparazione dell'esami di analisi 1 mi sono imbattuto in questo esercizio, e vorrei capire come procedere, grazie mille! Determinare {x ∈ R : sin(2x) = 2 sin(x)}. Giustificare il risultato.

Buongiorno, scusate il disturbo e la domanda forse banale. Dove posso trovare una dimostrazione formale per passare dalla delta di Kronecker alla delta di Dirac?

Buongiorno ragazzi, Ho un dubbio che mi attanaglia pesantemente. Riguarda il teorema di Stokes, il quale ci dice che il flusso del rotore di un campo F è uguale all'integrale di linea del campo sul bordo della superficie, orientata positivamente. Per orientata positivamente, si intende che preso un osservatore ideale che cammina sul bordo della superficie, posto come la normale, esso deve vedere la superficie alla sua sinistra. Ho però due dubbi a riguardo: 1. Il primo innanzitutto, esiste un ...

Ciao a tutti, mi stavo esercitando in vista dell'esame ma sono rimasto bloccato su una parte dell'esercizio. Non riesco a capire come poter andare avanti, spero riusciate ad aiutarmi, grazie in anticipo. Devo risolvere il seguente sistema per trovare i punti critici: [tex]\begin{cases} (y-e^x)(x-y+2)^2(-2e^x(x-y+2)+3(y-e^x)) &= 0 \\ (y-e^x)(x-y+2)^2(2(x-y+2)-3(y-e^x)) &= 0 \end{cases}[/tex] Studiando i primi due fattori ho trovato come soluzione le curve di punti critici di equazione ...

Buonasera, mi sono imbattuta in un limite da svolgere con gli sviluppi di Taylor, è la prima volta che svolgo un limite di questo tipo e ho studiato da poco anche le operazioni con o piccolo, perciò vi chiedo cortesemente di dare un'occhiata all'esercizio per sapere se il procedimento è giusto oppure cosa ho sbagliato. La traccia dell'esercizio è: $lim_(x->0) (2((1-cos(2x)-ln(1+2x^2)) / ((e^x-1-sinx)^2)))$ ho svolto in questo modo: $lim_(x->0)(2((1-1+2x^2+o(4x^2)-2x^2+2x^4+o(2x^4)))/((1+x+x^2/2+o(x^2)-1-x+o(x^2))^2)))=lim_(x->0)(2(+2x^4+o(x^2))/(x^2/2+o(x^2))^2)=lim_(x->0)(2(+2x^4+o(x^2))/(x^4/4+x^2*o(x^2)+o(x^4)))=lim_(x->0)(2(+2x^4+o(x^2))/(x^4/4+o(x^2)))=lim_(x->0)(2(+2x^4)/(x^4/4)))=16$ Vi ringrazio tanto per l'aiuto.

Buongiorno, oggi nel tentativo di calcolare l'ordine di infinitesimo e la parte principale di $f(x)=sin(cos(x)-e^x)$ per $x \to 0$ (per intenderci devo dimostrare che $f(x)=x +\sigma(x)$) ho riscontrato dei problemi: $\lim_{x \to \0}sin(cos(x)-e^x)/x^\alpha$, riconducendomi al limite notevole del seno sono arrivato a $\lim_{x \to \0}(cos(x)-e^x)/x^\alpha$. Qui mi sono sorti dei dubbi, cioè posso considerare che $cos(x) \to 1$ e quindi ricondurmi al limite notevole della funzione esponenziale??? Ma anche ammesso che si possa fare, ...

Biongiorno, sto verificando il seguente limite $lim_(x to 0) x^2/(2x-1)=0$ Procedo nella seguente maniera, innanzitutto il dominio di $f$ è $X={x in mathbb{R}: x ne 1/2}$. Dopodiché, ricordo la definizione di limite che nel caso specifico è $lim_(x to x_0) f(x)=l <=> forall epsilon>0 exists delta(epsilon)>0 \:\ forall x \ in X $ con $0<|x-x_0|<delta(epsilon)$ allora $|f(x)-l|<epsilon $ Restringo il dominio di $f$ ad $X'={x in mathbb{R}: 0<|x|<1/2}$, tale insieme certamente contiene un intorno bucato dello zero, quindi, non dovrebbe portare interferenze con la definizione, dunque, ...

Salve a tutti, sto svolgendo questo esercizio ma non riesco a venirne a capo, spero che qualcuno possa aiutarmi. Data la seguente funzione $f(x,y)=2^{x^2-y^2}(x-y)^2$ trovare eventuali punti critici e stabilire la loro natura. Come prima cosa ho calcolato il gradiente della funzione: $∇f(x,y)=(2^{x^2-y^2}(x-y)(2xlog(2)(x-y)+2), 2^{x^2-y^2}(x-y)(-2ylog(2)(x-y)-2))$ fatto ciò ponendolo pari a zero $∇f(x,y)=(0,0)$ ho ricavato la retta di punti stazionari $y=x$ il mio dubbio ora è come capire la natura dei punti stazionari di tale retta, e magari il ...

ciao! sto studiando analisi e ho paura di star facendo confusione con certi concetti... è necessario che \(\displaystyle x_0 \) sia un punto di accumulazione del dominio affinché il limite per \(\displaystyle x \rightarrow x_0 \) esista? ha senso pensare al limite come un punto di accumulazione dei valori della funzione o sono due concetti slegati? grazie a chi risponderà

Buongiorno Dal libro analisi matematica 1 di Salsa-Pagani viene provata la non esistenza del seguente limite $lim_(x \to 0_+) sin(1/x)$ Procede in questa maniera, prendo lettera per lettera di quello che è riportato: si osserva che $f(x)$ è compresa nell'intervallo chiuso e limitato $[-1,1]$, cosicché se esiste il limite $l$ dovrebbe appartenere a tale intervallo. Ma risulta che $sin(1/x)=1$ con $x_n=1/(pi/2+2npi)$ e $sin(1/x)=-1$ con $y_n=1/((3pi)/2+2npi)$ dove ...

Buonasera a tutti, mi trovo in grande difficoltà qualcuno potrebbe aiutarmi a capire tutti i passaggi eseguiti in questa dimostrazione. Le proprietà delle sommatorie che sono state applicate sono: prodotto per una costante, scomposizione di una sommatoria e traslazione di indici. Gli argomenti in questione sono le sommatorie e la progressione geometrica (Materia: Analisi Matematica 1). Vi ringrazio in anticipo! $(1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = 1 - q^{n + 1} $ $ (1 - q) \sum_{k = 0}^n (q^k) = \sum_{k = 0}^n q^k - q \sum_{k = 0}^n q^{k} = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 0}^n q^{k + 1} $ $ = \sum_{k = 0}^n q^k - \sum_{k = 1}^{n + 1} q^k = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - (\sum_{k = 1}^n q^k + q^{n + 1}) $ $ = 1 + \sum_{k = 1}^n q^k - \sum_{k = 1}^n q^k - q^{n + 1} = 1 - q^{n + 1} $

Buonasera, ho bisogno di un chiarimento riguardo allo studio della derivabilità di una funzione. Mi riferisco soprattutto alle funzioni definite a tratti, che più creano dubbi in questo campo. è corretto studiare la derivabilità di una funzione andando a calcolare la derivata prima e "studiando i limiti della derivata prima"? Teoricamente questo non dovrebbe essere uno studio della continuità della funzione derivata, che è diverso dallo studio della derivabilità? Propongo anche un esempio a ...

Il limite è il seguente: $lim_(x -> 0) (sin x - cos x + 1) / (2x + x^2 + 1 - (e^x - 1) / x)$ (Scusate per la formattazione, ma sono nuovo e non sapevo come fare) Il risultato dovrebbe essere $2/3$, ed applicando fin dall'inizio de l'Hôpital esce, ma se utilizzo taylor (sviluppi di mclaurin) o i limiti notevoli continua a venirmi $1/2$. Sbaglio qualcosa o c'è un motivo per il quale è così? Vi ringrazio in anticipo!

chi mi spiega questa dimostrazione ? in particolare la 2.16 e dove trovo la 2.16 nell espressione indicata dall ultima freccia?

Sia $f(x,y)={(|x|^alphaarctan(y),if x!=0),(0,if x=0):}$, qualcuno mi sa dire se queste cose sono giuste: 1) $f$ è continua se e solo se $alpha>=0$; 2) le derivate parziali di $f$ esistono per ogni $alphainRR$ 3)$f$ è differenziabile se e solo se $alpha>=1$ (non sono sicuro di aver fatto bene)

Salve a tutti, ho un dubbio riguardante questa successione di funzioni. $sqrt(x^2 + 1/n) $ Si chiede di calcolare la convergenza puntuale ed uniforme. Ho visto già vari svolgimenti, ma il mio dubbio riguarda la x. Per la convergenza puntuale si fissa la x e poi si fa il limite per n che tende ad infinito. Nei vari svolgimenti visti (anche quello della prof), si parte direttamente con il limite e si perviene al risultato $ |x| $ Come mai non si fissa x=0? Grazie a chi risponderà

Ciao, Stabilire usando un opportuno criterio di convergenza se il seguente integrale generalizzato converge ed in caso converga calcolarlo con la definizione. $ int_(0)^(1) x/sqrt(1-x^2) dx $ Sono abbastanza confuso su come calcolare questo integrale utilizzando un criterio. Ho provato a confrontarlo con l'integrale $ int_(0)^(1) (1/(b-x)^a) dx $. Successivamente, ho notato che con $ x->1 $ l'integrale è simile a $ int_(0)^(1) (1/sqrt(1-x^2)) dx = arcsinx+c $. Dato che $ arcsinx $ tra 0 e 1 è uguale a ...

Sia $f(x,y)=x^2(y^2+log(1+y))$. Abbiamo che il dominio di $f$ sono le coppie $(x,y)$ tale che $y> -1$, inoltre $f(x,y)>=0$ se $y>=0$, mentre $f(x,y)<0$ se $-1<y<0$. Abbiamo che $(0,0)$ è punto di sella, $(0,y_0)$ con $y_0>0$ punto di minimo locale e $(0,y_0)$ con $-1<y_0<0$ punto di massimo locale, non ci sono altri punti critici oltre quelli detti. Qualcuno mi può confermare che sia giusto?