Minimizzazione di una funziona con vincolo. Metodo dei moltiplicatori di lagrange

[zannas]

Ciao a tutti, spero di postare nella sezione corretta.
Il mio problema:
Ho una funzione a 2 variabili da minimizzare.
Ho una funzione sempre di queste 2 variabili che mi fa da vincolo.
Ho cercato di applicare il metodo dei moltiplicatori di lagrange ma non trovo la soluzione quando io in realtà sò che esiste.

Di seguito il problema:




Come si può vedere, non mi viene fornita alcuna soluzione.
Se però "a mano" uso:
h=200
b=50
quindi:
A = 10000
W = 333333
per
N = 10000
M = 100*10^6
ottengo
s = 301

Quindi una ipotetica soluzione vicino a h=200 e b=50 esiste, e magari esiste una coppia che mi fornisce un valore ancora più piccolo di A. Dove sbaglio?

Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao zannas,

"zannas":Ciao a tutti, spero di postare nella sezione corretta.

Non è tanto questo il problema, piuttosto è che hai postato delle immagini, che come dovresti sapere dopo più di 180 messaggi, sono sempre da evitare perché i siti di hosting dopo qualche tempo eliminano le immagini ed il post diventa incomprensibile per gli altri utenti. Poi l'altro problema (che è mio personale) è che comincio ad avere una certa età e non riesco a leggere assolutamente nulla delle immagini che hai postato...
Potresti eliminare le immagini e tradurre il problema in termini matematici con le formule che puoi trovare qui? Grazie.

[zannas]

Funzione da minimizzare
\(\displaystyle A(b,h) = (b^2 \cdot h^2)^{0.5} \)

Funzione ausiliaria:
\(\displaystyle W(b,h) = 1.0/6.0 \cdot b \cdot h^2.0 \)

Funzione di vincolo:
\(\displaystyle costrain1(N,M,h,b,s) = (N / A(b,h) + M / W(b,h) - s)^2 \)

Lagrangiano:
\(\displaystyle L(h,b) = A + lambda1 * costrain1(N=10^3,M=100 \cdot 10^6,s=300) \)

Derivate lagrangiano:
\(\displaystyle dL/db = 2 \cdot (-10000 \cdot b \cdot h^2/(b^2 \cdot h^2)^{1.5} - 6 \cdot 10^8/(b^2 \cdot h^2)) \cdot lambda1 \cdot (10000/(b^2 \cdot h^2)^{0.5} + 6 \cdot 10^8/(b \cdot h^2) - 300) + b \cdot h^2/(b^2 \cdot h^2)^{0.5} \)

\(\displaystyle dL/dh = 2*(-10000 \cdot b^2 \cdot h/(b^2 \cdot h^2)^{1.5} - 1.2 \cdot 10^9/(b*h^3))*lambda1*(10000/(b^2*h^2)^{0.5} + 6 \cdot 10^8/(b*h^2) - 300) + 1.0 \cdot b^2 \cdot h/(b^2*h^2)^{0.5} \)

\(\displaystyle dL/dLambda1 = (10000/(b^2 \cdot h^2)^{0.5} + 6 * 10^8/(b \cdot h^2) - 300)^2 \)

Risolvendo il sistema: dL/db(b=50) =0, dL/dh(b=50) =0, dL/dLambda(b=50) =0 non ottengo soluzione quando dovrebbe essere intorno a h=200