Perchè non esce con altri metodi? - Limite
Il limite è il seguente:
$lim_(x -> 0) (sin x - cos x + 1) / (2x + x^2 + 1 - (e^x - 1) / x)$
(Scusate per la formattazione, ma sono nuovo e non sapevo come fare)
Il risultato dovrebbe essere $2/3$, ed applicando fin dall'inizio de l'Hôpital esce, ma se utilizzo taylor (sviluppi di mclaurin) o i limiti notevoli continua a venirmi $1/2$.
Sbaglio qualcosa o c'è un motivo per il quale è così?
Vi ringrazio in anticipo!
$lim_(x -> 0) (sin x - cos x + 1) / (2x + x^2 + 1 - (e^x - 1) / x)$
(Scusate per la formattazione, ma sono nuovo e non sapevo come fare)
Il risultato dovrebbe essere $2/3$, ed applicando fin dall'inizio de l'Hôpital esce, ma se utilizzo taylor (sviluppi di mclaurin) o i limiti notevoli continua a venirmi $1/2$.
Sbaglio qualcosa o c'è un motivo per il quale è così?
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Probabilmente sbagli a fare i calcoli.
Posta un po' di conti.
Posta un po' di conti.
"gugo82":
Probabilmente sbagli a fare i calcoli.
Posta un po' di conti.
Con i limiti notevoli procedo in questo modo:
(e^x - 1) / x = 1 e quindi al denominatore rimane solo 2x + x^2 , mentre al numeratore moltiplico e divido per x, ottenendo (sin x) / x = 1 * x = x e (1 - cos x) / x = 0 * x = 0. In questo modo viene x / (2x + x^2), dove dividendo tutto per x o usando de l'hopital esce 1/2.
Con taylor procedo in questo modo:
sin x = x + o(x^2)
cos x = 1 + o(x)
e^x = 1 + x + o(x)
Da qui sostituendo abbiamo:
(x - 1 + 1 + o(x)) / (2x + x^2 + 1 - (1 + x - 1 + o(x)) / x) =
(x + o(x)) / (2x + x^2 + 1 - 1) =
x / (2x + x^2) = 1/2
Sbaglio qualcosa?
Controlla bene lo sviluppo che fai del termine $(e^x-1)/x$
"gugo82":
Probabilmente sbagli a fare i calcoli.
Leva "probabilmente".
"ingres":
Controlla bene lo sviluppo che fai del termine $(e^x-1)/x$
Il punto è che non lo sviluppa, ma si limita a cancellarlo.
"gugo82":
Il punto è che non lo sviluppa, ma si limita a cancellarlo.
Si, un tranello degli sviluppi in cui ogni tanto si cade. Non si sviluppano abbastanza i vari termini e alla fine si perde un pezzo.
"Black02":
e^x = 1 + x + o(x)
così torna
$e^x = 1+x+1/2x^2 + o(x^2)$
"ingres":
[quote="gugo82"]Il punto è che non lo sviluppa, ma si limita a cancellarlo.
Si, un tranello degli sviluppi in cui ogni tanto si cade. Non si sviluppano abbastanza i vari termini e alla fine si perde un pezzo.
"Black02":
e^x = 1 + x + o(x)
così torna
$e^x = 1+x+1/2x^2 + o(x^2)$[/quote]
In questo modo il risultato ora torna, ma mi rimangono 2 domande:
1) C'è un qualche modo per capire a quale termine fermarmi per non sbagliare?
2) Perchè invece con i limiti notevoli non esce? Sbaglio ancora qualcosa? (I passaggi che faccio con i limiti notevoli sono riportati sopra). Vorrei saperlo perchè pensavo che entrambi i modi fossero equivalenti.
"Black02":
1) C'è un qualche modo per capire a quale termine fermarmi per non sbagliare?
Cautelativamente una volta individuato grosso modo l'ordine di infinitesimo di una espressione conviene sempre espandere tutto almeno all'ordine immediatamente superiore, per tener conto correttamente di divisioni, cancellazioni, ecc.. Questa cautela riduce di parecchio la possibilità di errore ma non l'annulla del tutto. Un pò di occhio critico ci vuole sempre.
"Black02":
2) Perchè invece con i limiti notevoli non esce? Sbaglio ancora qualcosa?
Perchè il limite notevole alla fine è come aver preso solo una parte del risultato e quindi è corretto se preso a se stante. Se inserito in un diverso contesto può non essere adeguato.
L'esempio di questo esercizio è illuminante. Risulta
$(e^x-1)/x = 1 +1/2x + o(x)$
Quindi se vedo solo il suo limite per x->0 il valore 1 va bene, ma inserito nel contesto più generale possono contare anche gli altri termini che solitamente non si considerano.
Sicuramente gugo82 con la sua esperienza può aggiungere qualche ulteriore considerazione.
Ora penso di aver capito finalmente. Grazie mille per l'aiuto!
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