Successione di funzioni con radice
Salve a tutti, ho un dubbio riguardante questa successione di funzioni.
$sqrt(x^2 + 1/n) $
Si chiede di calcolare la convergenza puntuale ed uniforme. Ho visto già vari svolgimenti, ma il mio dubbio riguarda la x. Per la convergenza puntuale si fissa la x e poi si fa il limite per n che tende ad infinito.
Nei vari svolgimenti visti (anche quello della prof), si parte direttamente con il limite e si perviene al risultato
$ |x| $
Come mai non si fissa x=0?
Grazie a chi risponderà
$sqrt(x^2 + 1/n) $
Si chiede di calcolare la convergenza puntuale ed uniforme. Ho visto già vari svolgimenti, ma il mio dubbio riguarda la x. Per la convergenza puntuale si fissa la x e poi si fa il limite per n che tende ad infinito.
Nei vari svolgimenti visti (anche quello della prof), si parte direttamente con il limite e si perviene al risultato
$ |x| $
Come mai non si fissa x=0?
Grazie a chi risponderà
Risposte
Ciao RTorque, benvenut* sul forum!
Immagino che qua tu intendessi: "Come mai non si fissa $x_0 \in \mathbb{R}$?", perché fissare $x=0$ non è il caso più generale.
Comunque, immagino semplicemente che venga sottinteso. Il fatto che $x$ sia "fissato" e che sia $n$ a variare è dato nella definizione di limite puntuale di una $f_n:A\to\mathbb{R}$ per $n\to+\infty$. Infatti, tale definizione è: $f_n(x) \to f(x) \in \mathbb{R}$ per $n\to+\infty$ se per ogni $\epsilon>0$, per ogni $x \in A$ esiste $N_{\epsilon,x} \in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n\in\mathbb{N}$, $n>N_{\epsilon,x} \implies |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$. Quindi, come vedi, prima vengono dati ("fissati") $\epsilon>0$ ed $x\in A$ e solo poi si trova $N_{\epsilon,x}$ per cui vale l'implicazione.
"RTorque":
Come mai non si fissa x=0?
Grazie a chi risponderà
Immagino che qua tu intendessi: "Come mai non si fissa $x_0 \in \mathbb{R}$?", perché fissare $x=0$ non è il caso più generale.
Comunque, immagino semplicemente che venga sottinteso. Il fatto che $x$ sia "fissato" e che sia $n$ a variare è dato nella definizione di limite puntuale di una $f_n:A\to\mathbb{R}$ per $n\to+\infty$. Infatti, tale definizione è: $f_n(x) \to f(x) \in \mathbb{R}$ per $n\to+\infty$ se per ogni $\epsilon>0$, per ogni $x \in A$ esiste $N_{\epsilon,x} \in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n\in\mathbb{N}$, $n>N_{\epsilon,x} \implies |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$. Quindi, come vedi, prima vengono dati ("fissati") $\epsilon>0$ ed $x\in A$ e solo poi si trova $N_{\epsilon,x}$ per cui vale l'implicazione.
Grazie mille per la risposta anzitutto.
Diciamo che il mio dubbio nasce da questo ragionamento, ovvero consideriamo questa successioni di funzioni:
$ 1/(n^2x^2-nx+2)$ (ma il ragionamento si estende anche ad altre successioni di funzioni)
dopo aver trovato il dominio (non ci sono radici reali, quindi non si annulla mai) ho fissato x=0 e x>0/x<0 (in questo caso portano allo stesso risultato).
Però con x=0 ho convergenza puntuale ad $f(x)=1/2$
Mentre con x>0 ho convergenza puntuale a $f(x)=0$
Questo ci porta a dire che non c'è convergenza uniforme.
Adesso mi chiedo, perchè con la successione di funzione in questione, questo ragionamento si salta?
$sqrt(x^2+1/n) $
Io sarei portato a considerare (D=R)
x=0 e quindi convergenza puntuale a $f(x)=0$
x>0 convergenza puntuale a $f(x)=|x|$
Questo mi porterebbe in errore a dire che non c'è convergenza uniforme, invece converge uniformemente.
E' un problema di ragionamento, dove sbaglio?
Diciamo che il mio dubbio nasce da questo ragionamento, ovvero consideriamo questa successioni di funzioni:
$ 1/(n^2x^2-nx+2)$ (ma il ragionamento si estende anche ad altre successioni di funzioni)
dopo aver trovato il dominio (non ci sono radici reali, quindi non si annulla mai) ho fissato x=0 e x>0/x<0 (in questo caso portano allo stesso risultato).
Però con x=0 ho convergenza puntuale ad $f(x)=1/2$
Mentre con x>0 ho convergenza puntuale a $f(x)=0$
Questo ci porta a dire che non c'è convergenza uniforme.
Adesso mi chiedo, perchè con la successione di funzione in questione, questo ragionamento si salta?
$sqrt(x^2+1/n) $
Io sarei portato a considerare (D=R)
x=0 e quindi convergenza puntuale a $f(x)=0$
x>0 convergenza puntuale a $f(x)=|x|$
Questo mi porterebbe in errore a dire che non c'è convergenza uniforme, invece converge uniformemente.
E' un problema di ragionamento, dove sbaglio?
Prego!
Non è proprio così come dici, devi essere estremamente preciso quando fai matematica. Quello che probabilmente vuoi dire è questo: c'è un teorema che ti dice che se una successione di funzioni $g_n:A\to\mathbb{R}$ continue converge uniformemente per $n\to+\infty$ ad una funzione $g:A\to\mathbb{R}$, allora anche $g$ è continua in $A$. Nel caso di $f_n(x)=\frac{1}{n^2x^2-nx+2}$ si osserva che $f_n$ è una successione di funzioni continue in $\mathbb{R}$ (rapporto tra funzioni polinomiali con denominatore mai nullo in $\mathbb{R}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$) e si ragiona per assurdo, dicendo che se per assurdo ci fosse convergenza uniforme di $f_n$ in $\mathbb{R}$ allora anche $f$ sarebbe continua in $\mathbb{R}$. Dunque, in particolare, $f$ sarebbe continua in $0$. Ma $f$ è discontinua in $0$, perché per $x>0$ o $x<0$ vale $0$ mentre per $x=0$ vale $1/2$ (puoi quindi facilmente dimostrare che il suo limite per $x \to 0$ è $0$ che è diverso da $1/2=f(0)$, quindi è discontinua in $0$). Perciò, c'è un assurdo perché $f$ sarebbe simultaneamente continua in $x=0$ e non continua in $x=0$.
Nel caso di $\sqrt{x^2+1/n}$ l'assurdo precedente non si genera, perché $f(x)=|x|$ è continua in $0$ con $\sqrt{x^2+1/n}$ successione di funzioni continue in $\mathbb{R}$.
"RTorque":
Però con x=0 ho convergenza puntuale ad f(x)=1/2
Mentre con x>0 ho convergenza puntuale a f(x)=0
Questo ci porta a dire che non c'è convergenza uniforme.
Non è proprio così come dici, devi essere estremamente preciso quando fai matematica. Quello che probabilmente vuoi dire è questo: c'è un teorema che ti dice che se una successione di funzioni $g_n:A\to\mathbb{R}$ continue converge uniformemente per $n\to+\infty$ ad una funzione $g:A\to\mathbb{R}$, allora anche $g$ è continua in $A$. Nel caso di $f_n(x)=\frac{1}{n^2x^2-nx+2}$ si osserva che $f_n$ è una successione di funzioni continue in $\mathbb{R}$ (rapporto tra funzioni polinomiali con denominatore mai nullo in $\mathbb{R}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$) e si ragiona per assurdo, dicendo che se per assurdo ci fosse convergenza uniforme di $f_n$ in $\mathbb{R}$ allora anche $f$ sarebbe continua in $\mathbb{R}$. Dunque, in particolare, $f$ sarebbe continua in $0$. Ma $f$ è discontinua in $0$, perché per $x>0$ o $x<0$ vale $0$ mentre per $x=0$ vale $1/2$ (puoi quindi facilmente dimostrare che il suo limite per $x \to 0$ è $0$ che è diverso da $1/2=f(0)$, quindi è discontinua in $0$). Perciò, c'è un assurdo perché $f$ sarebbe simultaneamente continua in $x=0$ e non continua in $x=0$.
Nel caso di $\sqrt{x^2+1/n}$ l'assurdo precedente non si genera, perché $f(x)=|x|$ è continua in $0$ con $\sqrt{x^2+1/n}$ successione di funzioni continue in $\mathbb{R}$.
Credo di aver capito, adesso vedo se riesco ad applicare questo ragionamento anche ad altre successioni di funzioni.
Intanto ti ringrazio per l'aiuto e la delucidazione!
Intanto ti ringrazio per l'aiuto e la delucidazione!
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