Risoluzione di un limite
Buongiorno, oggi nel tentativo di calcolare l'ordine di infinitesimo e la parte principale di $f(x)=sin(cos(x)-e^x)$ per $x \to 0$ (per intenderci devo dimostrare che $f(x)=x +\sigma(x)$) ho riscontrato dei problemi:
$\lim_{x \to \0}sin(cos(x)-e^x)/x^\alpha$, riconducendomi al limite notevole del seno sono arrivato a $\lim_{x \to \0}(cos(x)-e^x)/x^\alpha$.
Qui mi sono sorti dei dubbi, cioè posso considerare che $cos(x) \to 1$ e quindi ricondurmi al limite notevole della funzione esponenziale??? Ma anche ammesso che si possa fare, dopo otterrei che $\alpha=1, \lim_{x \to \0}f(x)/x=-1$ e che quindi $f(x)=-x+\sigma(x)$, diverso dal risultato che invece devo dimostrare. Se qualcuno riuscisse a delucidarmi i dubbi espressi gliene sarei molto grato, perché ho come la forte sensazione di star perdendomi in un bicchier d'acqua.
$\lim_{x \to \0}sin(cos(x)-e^x)/x^\alpha$, riconducendomi al limite notevole del seno sono arrivato a $\lim_{x \to \0}(cos(x)-e^x)/x^\alpha$.
Qui mi sono sorti dei dubbi, cioè posso considerare che $cos(x) \to 1$ e quindi ricondurmi al limite notevole della funzione esponenziale??? Ma anche ammesso che si possa fare, dopo otterrei che $\alpha=1, \lim_{x \to \0}f(x)/x=-1$ e che quindi $f(x)=-x+\sigma(x)$, diverso dal risultato che invece devo dimostrare. Se qualcuno riuscisse a delucidarmi i dubbi espressi gliene sarei molto grato, perché ho come la forte sensazione di star perdendomi in un bicchier d'acqua.
Risposte
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fatto cancellata
Ciao Gnagni, benvenut* sul forum! Ho visto che hai modificato il messaggio in analisi superiore. Grazie mille. Veniamo all'esercizio:
No, non puoi farlo. Non si va al limite a pezzi. Se mandi $x$ a $0$ lo devi fare dappertutto, e quindi ottieni una forma indeterminata. Hai studiato gli sviluppi in serie di Taylor?
In caso tu li abbia studiati, devi trovare un valore $\alpha_0 \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ed un valore $L\in\mathbb{R} \setminus\{0\}$ tali che $f(x)=Lx^{\alpha_0}+\text{o}(x^{\alpha_0})$ per $x \to 0$; se questi valori esistono, si ha che $\alpha_0$ è l'ordine di infinitesimo ed $Lx^{\alpha_0}$ è la parte principale. In questo caso, effettivamente è $L=-1$ ed $\alpha_0=1$, ma devi dimostrarlo e il tuo approccio di sostituire $1$ al coseno è errato (anche se, incidentalmente, ti porta al risultato corretto). Quindi, ti confermo che secondo me è $f(x)=-x+\text{o}(x)$ per $x\to 0$.
"Gnagni":
posso considerare che $cos(x) \to 1$ e quindi ricondurmi al limite notevole della funzione esponenziale??? Ma anche ammesso che si possa fare, dopo otterrei che $\alpha=1, \lim_{x \to \0}f(x)/x=-1$ e che quindi $f(x)=-x+\sigma(x)$, diverso dal risultato che invece devo dimostrare. Se qualcuno riuscisse a delucidarmi i dubbi espressi gliene sarei molto grato, perché ho come la forte sensazione di star perdendomi in un bicchier d'acqua.
No, non puoi farlo. Non si va al limite a pezzi. Se mandi $x$ a $0$ lo devi fare dappertutto, e quindi ottieni una forma indeterminata. Hai studiato gli sviluppi in serie di Taylor?
In caso tu li abbia studiati, devi trovare un valore $\alpha_0 \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ed un valore $L\in\mathbb{R} \setminus\{0\}$ tali che $f(x)=Lx^{\alpha_0}+\text{o}(x^{\alpha_0})$ per $x \to 0$; se questi valori esistono, si ha che $\alpha_0$ è l'ordine di infinitesimo ed $Lx^{\alpha_0}$ è la parte principale. In questo caso, effettivamente è $L=-1$ ed $\alpha_0=1$, ma devi dimostrarlo e il tuo approccio di sostituire $1$ al coseno è errato (anche se, incidentalmente, ti porta al risultato corretto). Quindi, ti confermo che secondo me è $f(x)=-x+\text{o}(x)$ per $x\to 0$.
Ciao Gnagni,
Come
Però osserverei che anche semplicemente coi limiti notevoli, con qualche manipolazione algebrica, si ha:
$\lim_{x \to 0}(cos(x) - e^x)/x^{\alpha} = \lim_{x \to 0}(cos(x) - 1 - (e^x - 1))/x^{\alpha} = - \lim_{x \to 0}(1 - cos(x))/x^{\alpha} - \lim_{x \to 0} (e^x - 1)/x^{\alpha} $
Ora per $\alpha = 1 $ il primo limite diventa un limite notevole che vale $0$, mentre il secondo limite diventa un limite notevole che vale $1$, sicché si ha:
$ \lim_{x \to 0}(cos(x) - e^x)/x = - 1 $
Come
"Mephlip":
No, non puoi farlo. Non si va al limite a pezzi. Se mandi $x$ a $0$ lo devi fare dappertutto, e quindi ottieni una forma indeterminata.
Però osserverei che anche semplicemente coi limiti notevoli, con qualche manipolazione algebrica, si ha:
$\lim_{x \to 0}(cos(x) - e^x)/x^{\alpha} = \lim_{x \to 0}(cos(x) - 1 - (e^x - 1))/x^{\alpha} = - \lim_{x \to 0}(1 - cos(x))/x^{\alpha} - \lim_{x \to 0} (e^x - 1)/x^{\alpha} $
Ora per $\alpha = 1 $ il primo limite diventa un limite notevole che vale $0$, mentre il secondo limite diventa un limite notevole che vale $1$, sicché si ha:
$ \lim_{x \to 0}(cos(x) - e^x)/x = - 1 $
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